Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14851 / 5631
↖ ↑ ↗
← N 81.519082°
W 98.421020°		 ← 90.08 m → N 81.519082°
W 98.415528°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
N 81.518272°
W 98.421020°		 ← 90.09 m →
8 115 m²		 N 81.518272°
W 98.415528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226615905761719 y=0.0859298706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226615905761719 × 216)
    floor (0.226615905761719 × 65536)
    floor (14851.5)     		tx = 14851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859298706054688 × 216)
    floor (0.0859298706054688 × 65536)
    floor (5631.5)     		ty = 5631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14851 / 5631 ti = "16/14851/5631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14851/5631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14851 ÷ 216
    14851 ÷ 65536     		x = 0.226608276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5631 ÷ 216
    5631 ÷ 65536     		y = 0.0859222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226608276367188 × 2 - 1) × π
    -0.546783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71777086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859222412109375 × 2 - 1) × π
    0.828155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60172728997893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71777086} λ = -1.71777086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60172728997893))-π/2
    2×atan(13.4870139110952)-π/2
    2×1.49678635585263-π/2
    2.99357271170526-1.57079632675     		φ = 1.42277638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71777086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.421020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42277638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.519082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14851 KachelY 5631 -1.71777086 1.42277638 -98.421020 81.519082
    Oben rechts KachelX + 1 14852 KachelY 5631 -1.71767499 1.42277638 -98.415528 81.519082
    Unten links KachelX 14851 KachelY + 1 5632 -1.71777086 1.42276224 -98.421020 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 14852 KachelY + 1 5632 -1.71767499 1.42276224 -98.415528 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42277638-1.42276224) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42277638-1.42276224) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71777086--1.71767499) × cos(1.42277638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147480021466652 × 6371000     		do = 90.0789934311663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71777086--1.71767499) × cos(1.42276224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 90.0875355209754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42277638)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147480021466652-0.147494006831501)×R²
    abs(-1.71767499--1.71777086)×1.39853648495059e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39853648495059e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39853648495059e-05×40589641000000     		ar = 8115.2355588826m²