Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14850 / 11780
↖ ↑ ↗
← N 74.770072°
W 98.426513°		 ← 160.45 m → N 74.770072°
W 98.421020°		 →
↑
160.49 m
↓
↑
160.49 m
↓
N 74.768629°
W 98.426513°		 ← 160.46 m →
25 751 m²		 N 74.768629°
W 98.421020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226600646972656 y=0.179756164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226600646972656 × 216)
    floor (0.226600646972656 × 65536)
    floor (14850.5)     		tx = 14850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179756164550781 × 216)
    floor (0.179756164550781 × 65536)
    floor (11780.5)     		ty = 11780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14850 / 11780 ti = "16/14850/11780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14850/11780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14850 ÷ 216
    14850 ÷ 65536     		x = 0.226593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11780 ÷ 216
    11780 ÷ 65536     		y = 0.17974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.54681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71786673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17974853515625 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.01219929845148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71786673} λ = -1.71786673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01219929845148))-π/2
    2×atan(7.47974947255443)-π/2
    2×1.43789013262448-π/2
    2.87578026524897-1.57079632675     		φ = 1.30498394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71786673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.426513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30498394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.770072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14850 KachelY 11780 -1.71786673 1.30498394 -98.426513 74.770072
    Oben rechts KachelX + 1 14851 KachelY 11780 -1.71777086 1.30498394 -98.421020 74.770072
    Unten links KachelX 14850 KachelY + 1 11781 -1.71786673 1.30495875 -98.426513 74.768629
    Unten rechts KachelX + 1 14851 KachelY + 1 11781 -1.71777086 1.30495875 -98.421020 74.768629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30498394-1.30495875) × R
    2.51900000001193e-05 × 6371000     		dl = 160.48549000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30498394-1.30495875) × R
    2.51900000001193e-05 × 6371000     		dr = 160.48549000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71786673--1.71777086) × cos(1.30498394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262693210040428 × 6371000     		do = 160.449799954731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71786673--1.71777086) × cos(1.30495875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262717515269439 × 6371000     		du = 160.464645291358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30498394)-sin(1.30495875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262693210040428-0.262717515269439)×R²
    abs(-1.71777086--1.71786673)×2.43052290115897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.43052290115897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.43052290115897e-05×40589641000000     		ar = 25751.0559980262m²