Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14849 / 15893
↖ ↑ ↗
← N 79.421788°
W139.216003°		 ← 56.07 m → N 79.421788°
W139.213257°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.421283°
W139.216003°		 ← 56.07 m →
3 144 m²		 N 79.421283°
W139.213257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113292694091797 y=0.121257781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113292694091797 × 217)
    floor (0.113292694091797 × 131072)
    floor (14849.5)     		tx = 14849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121257781982422 × 217)
    floor (0.121257781982422 × 131072)
    floor (15893.5)     		ty = 15893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14849 / 15893 ti = "17/14849/15893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14849/15893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14849 ÷ 217
    14849 ÷ 131072     		x = 0.113288879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15893 ÷ 217
    15893 ÷ 131072     		y = 0.121253967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113288879394531 × 2 - 1) × π
    -0.773422241210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.42977763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121253967285156 × 2 - 1) × π
    0.757492065429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.37973150783845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42977763} λ = -2.42977763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37973150783845))-π/2
    2×atan(10.8020022216232)-π/2
    2×1.47848400884035-π/2
    2.9569680176807-1.57079632675     		φ = 1.38617169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42977763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.216003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38617169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.421788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14849 KachelY 15893 -2.42977763 1.38617169 -139.216003 79.421788
    Oben rechts KachelX + 1 14850 KachelY 15893 -2.42972969 1.38617169 -139.213257 79.421788
    Unten links KachelX 14849 KachelY + 1 15894 -2.42977763 1.38616289 -139.216003 79.421283
    Unten rechts KachelX + 1 14850 KachelY + 1 15894 -2.42972969 1.38616289 -139.213257 79.421283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38617169-1.38616289) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38617169-1.38616289) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42977763--2.42972969) × cos(1.38617169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18357756247645 × 6371000     		do = 56.0693128667292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42977763--2.42972969) × cos(1.38616289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183586212915349 × 6371000     		du = 56.0719549334314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38617169)-sin(1.38616289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18357756247645-0.183586212915349)×R²
    abs(-2.42972969--2.42977763)×8.65043889947126e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65043889947126e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65043889947126e-06×40589641000000     		ar = 3143.58887571057m²