Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14849 / 14879
↖ ↑ ↗
← S 81.198058°
E146.271973°		 ← 373.86 m → S 81.198058°
E146.293945°		 →
↑
373.79 m
↓
↑
373.79 m
↓
S 81.201420°
E146.271973°		 ← 373.72 m →
139 717 m²		 S 81.201420°
E146.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906341552734375 y=0.908172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906341552734375 × 214)
    floor (0.906341552734375 × 16384)
    floor (14849.5)     		tx = 14849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908172607421875 × 214)
    floor (0.908172607421875 × 16384)
    floor (14879.5)     		ty = 14879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14849 / 14879 ti = "14/14849/14879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14849/14879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14849 ÷ 214
    14849 ÷ 16384     		x = 0.90631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14879 ÷ 214
    14879 ÷ 16384     		y = 0.90814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90631103515625 × 2 - 1) × π
    0.8126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55292753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.8162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56443238207452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55292753} λ = 2.55292753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56443238207452))-π/2
    2×atan(0.0769628545416784)-π/2
    2×0.076811434782083-π/2
    0.153622869564166-1.57079632675     		φ = -1.41717346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55292753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41717346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.198058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14849 KachelY 14879 2.55292753 -1.41717346 146.271973 -81.198058
    Oben rechts KachelX + 1 14850 KachelY 14879 2.55331102 -1.41717346 146.293945 -81.198058
    Unten links KachelX 14849 KachelY + 1 14880 2.55292753 -1.41723213 146.271973 -81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 14850 KachelY + 1 14880 2.55331102 -1.41723213 146.293945 -81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41717346--1.41723213) × R
    5.86699999998164e-05 × 6371000     		dl = 373.78656999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41717346--1.41723213) × R
    5.86699999998164e-05 × 6371000     		dr = 373.78656999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55292753-2.55331102) × cos(-1.41717346) × R
    0.000383490000000375 × 0.153019329844572 × 6371000     		do = 373.859089832511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55292753-2.55331102) × cos(-1.41723213) × R
    0.000383490000000375 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 373.717433904716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41717346)-sin(-1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153019329844572-0.152961350526349)×R²
    abs(2.55331102-2.55292753)×5.79793182226285e-05×R²
    0.000383490000000375×5.79793182226285e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.79793182226285e-05×40589641000000     		ar = 139717.032349552m²