Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14848 / 15892
↖ ↑ ↗
← N 79.422292°
W139.218750°		 ← 56.07 m → N 79.422292°
W139.216003°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.421788°
W139.218750°		 ← 56.07 m →
3 143 m²		 N 79.421788°
W139.216003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113285064697266 y=0.121250152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113285064697266 × 217)
    floor (0.113285064697266 × 131072)
    floor (14848.5)     		tx = 14848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121250152587891 × 217)
    floor (0.121250152587891 × 131072)
    floor (15892.5)     		ty = 15892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14848 / 15892 ti = "17/14848/15892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14848/15892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14848 ÷ 217
    14848 ÷ 131072     		x = 0.11328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15892 ÷ 217
    15892 ÷ 131072     		y = 0.121246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11328125 × 2 - 1) × π
    -0.7734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42982557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121246337890625 × 2 - 1) × π
    0.75750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37977944473807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42982557} λ = -2.42982557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37977944473807))-π/2
    2×atan(10.8025200485308)-π/2
    2×1.47848840880625-π/2
    2.9569768176125-1.57079632675     		φ = 1.38618049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42982557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38618049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.422292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14848 KachelY 15892 -2.42982557 1.38618049 -139.218750 79.422292
    Oben rechts KachelX + 1 14849 KachelY 15892 -2.42977763 1.38618049 -139.216003 79.422292
    Unten links KachelX 14848 KachelY + 1 15893 -2.42982557 1.38617169 -139.218750 79.421788
    Unten rechts KachelX + 1 14849 KachelY + 1 15893 -2.42977763 1.38617169 -139.216003 79.421788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38618049-1.38617169) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38618049-1.38617169) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42982557--2.42977763) × cos(1.38618049) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.183568912023334 × 6371000     		do = 56.0666707962044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42982557--2.42977763) × cos(1.38617169) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.18357756247645 × 6371000     		du = 56.0693128672486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38618049)-sin(1.38617169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183568912023334-0.18357756247645)×R²
    abs(-2.42977763--2.42982557)×8.6504531156828e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.6504531156828e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.6504531156828e-06×40589641000000     		ar = 3143.44074832228m²