Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14848 / 14969
↖ ↑ ↗
← S 81.495556°
E146.250000°		 ← 361.33 m → S 81.495556°
E146.271973°		 →
↑
361.24 m
↓
↑
361.24 m
↓
S 81.498805°
E146.250000°		 ← 361.19 m →
130 499 m²		 S 81.498805°
E146.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906280517578125 y=0.913665771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906280517578125 × 214)
    floor (0.906280517578125 × 16384)
    floor (14848.5)     		tx = 14848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913665771484375 × 214)
    floor (0.913665771484375 × 16384)
    floor (14969.5)     		ty = 14969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14848 / 14969 ti = "14/14848/14969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14848/14969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14848 ÷ 214
    14848 ÷ 16384     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14969 ÷ 214
    14969 ÷ 16384     		y = 0.91363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.8272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59894694980096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59894694980096))-π/2
    2×atan(0.0743518332166469)-π/2
    2×0.0742152754021382-π/2
    0.148430550804276-1.57079632675     		φ = -1.42236578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42236578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.495556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14848 KachelY 14969 2.55254403 -1.42236578 146.250000 -81.495556
    Oben rechts KachelX + 1 14849 KachelY 14969 2.55292753 -1.42236578 146.271973 -81.495556
    Unten links KachelX 14848 KachelY + 1 14970 2.55254403 -1.42242248 146.250000 -81.498805
    Unten rechts KachelX + 1 14849 KachelY + 1 14970 2.55292753 -1.42242248 146.271973 -81.498805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42236578--1.42242248) × R
    5.67000000000206e-05 × 6371000     		dl = 361.235700000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42236578--1.42242248) × R
    5.67000000000206e-05 × 6371000     		dr = 361.235700000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55292753) × cos(-1.42236578) × R
    0.00038349999999987 × 0.147886119126569 × 6371000     		do = 361.326975310263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55292753) × cos(-1.42242248) × R
    0.00038349999999987 × 0.147830042339614 × 6371000     		du = 361.189964102347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42236578)-sin(-1.42242248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147886119126569-0.147830042339614)×R²
    abs(2.55292753-2.55254403)×5.60767869552115e-05×R²
    0.00038349999999987×5.60767869552115e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.60767869552115e-05×40589641000000     		ar = 130499.456219752m²