Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14847 / 21525
↖ ↑ ↗
← S 49.073866°
W 16.885986°		 ← 800.28 m → S 49.073866°
W 16.875000°		 →
↑
800.20 m
↓
↑
800.20 m
↓
S 49.081062°
W 16.885986°		 ← 800.16 m →
640 334 m²		 S 49.081062°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453109741210938 y=0.656906127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453109741210938 × 215)
    floor (0.453109741210938 × 32768)
    floor (14847.5)     		tx = 14847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656906127929688 × 215)
    floor (0.656906127929688 × 32768)
    floor (21525.5)     		ty = 21525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14847 / 21525 ti = "15/14847/21525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14847/21525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14847 ÷ 215
    14847 ÷ 32768     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21525 ÷ 215
    21525 ÷ 32768     		y = 0.656890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.31378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.985774403786835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985774403786835))-π/2
    2×atan(0.37315014613225)-π/2
    2×0.357147895076874-π/2
    0.714295790153749-1.57079632675     		φ = -0.85650054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85650054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.073866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14847 KachelY 21525 -0.29471606 -0.85650054 -16.885986 -49.073866
    Oben rechts KachelX + 1 14848 KachelY 21525 -0.29452431 -0.85650054 -16.875000 -49.073866
    Unten links KachelX 14847 KachelY + 1 21526 -0.29471606 -0.85662614 -16.885986 -49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 14848 KachelY + 1 21526 -0.29452431 -0.85662614 -16.875000 -49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85650054--0.85662614) × R
    0.000125600000000059 × 6371000     		dl = 800.197600000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85650054--0.85662614) × R
    0.000125600000000059 × 6371000     		dr = 800.197600000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29452431) × cos(-0.85650054) × R
    0.000191749999999991 × 0.65508550754389 × 6371000     		do = 800.278168121748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29452431) × cos(-0.85662614) × R
    0.000191749999999991 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 800.162231083494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85650054)-sin(-0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65508550754389-0.654990604700638)×R²
    abs(-0.29452431--0.29471606)×9.49028432524202e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49028432524202e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49028432524202e-05×40589641000000     		ar = 640334.284036039m²