Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14847 / 21517
↖ ↑ ↗
← S 49.016257°
W 16.885986°		 ← 801.21 m → S 49.016257°
W 16.875000°		 →
↑
801.09 m
↓
↑
801.09 m
↓
S 49.023461°
W 16.885986°		 ← 801.09 m →
641 791 m²		 S 49.023461°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453109741210938 y=0.656661987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453109741210938 × 215)
    floor (0.453109741210938 × 32768)
    floor (14847.5)     		tx = 14847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656661987304688 × 215)
    floor (0.656661987304688 × 32768)
    floor (21517.5)     		ty = 21517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14847 / 21517 ti = "15/14847/21517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14847/21517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14847 ÷ 215
    14847 ÷ 32768     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21517 ÷ 215
    21517 ÷ 32768     		y = 0.656646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.31329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.984240422998993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984240422998993))-π/2
    2×atan(0.373722990541226)-π/2
    2×0.357650630566233-π/2
    0.715301261132466-1.57079632675     		φ = -0.85549507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85549507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.016257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14847 KachelY 21517 -0.29471606 -0.85549507 -16.885986 -49.016257
    Oben rechts KachelX + 1 14848 KachelY 21517 -0.29452431 -0.85549507 -16.875000 -49.016257
    Unten links KachelX 14847 KachelY + 1 21518 -0.29471606 -0.85562081 -16.885986 -49.023461
    Unten rechts KachelX + 1 14848 KachelY + 1 21518 -0.29452431 -0.85562081 -16.875000 -49.023461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85549507--0.85562081) × R
    0.000125739999999985 × 6371000     		dl = 801.089539999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85549507--0.85562081) × R
    0.000125739999999985 × 6371000     		dr = 801.089539999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29452431) × cos(-0.85549507) × R
    0.000191749999999991 × 0.655844863912901 × 6371000     		do = 801.205827666869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29452431) × cos(-0.85562081) × R
    0.000191749999999991 × 0.655749938143483 × 6371000     		du = 801.089862621111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85549507)-sin(-0.85562081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655844863912901-0.655749938143483)×R²
    abs(-0.29452431--0.29471606)×9.49257694179417e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49257694179417e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49257694179417e-05×40589641000000     		ar = 641791.159583465m²