Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14847 / 14970
↖ ↑ ↗
← S 81.498805°
E146.228028°		 ← 361.18 m → S 81.498805°
E146.250000°		 →
↑
361.11 m
↓
↑
361.11 m
↓
S 81.502052°
E146.228028°		 ← 361.04 m →
130 401 m²		 S 81.502052°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906219482421875 y=0.913726806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906219482421875 × 214)
    floor (0.906219482421875 × 16384)
    floor (14847.5)     		tx = 14847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913726806640625 × 214)
    floor (0.913726806640625 × 16384)
    floor (14970.5)     		ty = 14970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14847 / 14970 ti = "14/14847/14970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14847/14970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14847 ÷ 214
    14847 ÷ 16384     		x = 0.90618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14970 ÷ 214
    14970 ÷ 16384     		y = 0.9136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90618896484375 × 2 - 1) × π
    0.8123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55216054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59933044499792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55216054} λ = 2.55216054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59933044499792))-π/2
    2×atan(0.0743233251124331)-π/2
    2×0.0741869239700853-π/2
    0.148373847940171-1.57079632675     		φ = -1.42242248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55216054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42242248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.498805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14847 KachelY 14970 2.55216054 -1.42242248 146.228028 -81.498805
    Oben rechts KachelX + 1 14848 KachelY 14970 2.55254403 -1.42242248 146.250000 -81.498805
    Unten links KachelX 14847 KachelY + 1 14971 2.55216054 -1.42247916 146.228028 -81.502052
    Unten rechts KachelX + 1 14848 KachelY + 1 14971 2.55254403 -1.42247916 146.250000 -81.502052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42242248--1.42247916) × R
    5.66799999999201e-05 × 6371000     		dl = 361.108279999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42242248--1.42247916) × R
    5.66799999999201e-05 × 6371000     		dr = 361.108279999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55216054-2.55254403) × cos(-1.42242248) × R
    0.000383489999999931 × 0.147830042339614 × 6371000     		do = 361.180545850406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55216054-2.55254403) × cos(-1.42247916) × R
    0.000383489999999931 × 0.147773984857825 × 6371000     		du = 361.043585381809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42242248)-sin(-1.42247916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147830042339614-0.147773984857825)×R²
    abs(2.55254403-2.55216054)×5.60574817893011e-05×R²
    0.000383489999999931×5.60574817893011e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.60574817893011e-05×40589641000000     		ar = 130400.556936142m²