Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14846 / 8374
↖ ↑ ↗
← N 65.703518°
W 16.896973°		 ← 502.65 m → N 65.703518°
W 16.885986°		 →
↑
502.67 m
↓
↑
502.67 m
↓
N 65.698997°
W 16.896973°		 ← 502.74 m →
252 692 m²		 N 65.698997°
W 16.885986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453079223632812 y=0.255569458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453079223632812 × 215)
    floor (0.453079223632812 × 32768)
    floor (14846.5)     		tx = 14846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255569458007812 × 215)
    floor (0.255569458007812 × 32768)
    floor (8374.5)     		ty = 8374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14846 / 8374 ti = "15/14846/8374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14846/8374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14846 ÷ 215
    14846 ÷ 32768     		x = 0.45306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8374 ÷ 215
    8374 ÷ 32768     		y = 0.25555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25555419921875 × 2 - 1) × π
    0.4888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5358982638266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29490781} λ = -0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5358982638266))-π/2
    2×atan(4.64549653783728)-π/2
    2×1.35876952482299-π/2
    2.71753904964598-1.57079632675     		φ = 1.14674272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14674272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.703518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14846 KachelY 8374 -0.29490781 1.14674272 -16.896973 65.703518
    Oben rechts KachelX + 1 14847 KachelY 8374 -0.29471606 1.14674272 -16.885986 65.703518
    Unten links KachelX 14846 KachelY + 1 8375 -0.29490781 1.14666382 -16.896973 65.698997
    Unten rechts KachelX + 1 14847 KachelY + 1 8375 -0.29471606 1.14666382 -16.885986 65.698997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14674272-1.14666382) × R
    7.89000000001039e-05 × 6371000     		dl = 502.671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14674272-1.14666382) × R
    7.89000000001039e-05 × 6371000     		dr = 502.671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29490781--0.29471606) × cos(1.14674272) × R
    0.000191749999999991 × 0.411458396356055 × 6371000     		do = 502.653726730589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29490781--0.29471606) × cos(1.14666382) × R
    0.000191749999999991 × 0.411530306787276 × 6371000     		du = 502.741575335853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14674272)-sin(1.14666382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411458396356055-0.411530306787276)×R²
    abs(-0.29471606--0.29490781)×7.19104312206231e-05×R²
    0.000191749999999991×7.19104312206231e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.19104312206231e-05×40589641000000     		ar = 252691.983501725m²