Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14846 / 15054
↖ ↑ ↗
← S 81.767354°
E146.206055°		 ← 349.86 m → S 81.767354°
E146.228028°		 →
↑
349.77 m
↓
↑
349.77 m
↓
S 81.770499°
E146.206055°		 ← 349.73 m →
122 347 m²		 S 81.770499°
E146.228028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906158447265625 y=0.918853759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906158447265625 × 214)
    floor (0.906158447265625 × 16384)
    floor (14846.5)     		tx = 14846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918853759765625 × 214)
    floor (0.918853759765625 × 16384)
    floor (15054.5)     		ty = 15054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14846 / 15054 ti = "14/14846/15054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14846/15054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14846 ÷ 214
    14846 ÷ 16384     		x = 0.9061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15054 ÷ 214
    15054 ÷ 16384     		y = 0.9188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9061279296875 × 2 - 1) × π
    0.812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55177704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.837646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6315440415426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55177704} λ = 2.55177704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6315440415426))-π/2
    2×atan(0.0719672559743821)-π/2
    2×0.071843394323935-π/2
    0.14368678864787-1.57079632675     		φ = -1.42710954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55177704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42710954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.767354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14846 KachelY 15054 2.55177704 -1.42710954 146.206055 -81.767354
    Oben rechts KachelX + 1 14847 KachelY 15054 2.55216054 -1.42710954 146.228028 -81.767354
    Unten links KachelX 14846 KachelY + 1 15055 2.55177704 -1.42716444 146.206055 -81.770499
    Unten rechts KachelX + 1 14847 KachelY + 1 15055 2.55216054 -1.42716444 146.228028 -81.770499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42710954--1.42716444) × R
    5.49000000000799e-05 × 6371000     		dl = 349.767900000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42710954--1.42716444) × R
    5.49000000000799e-05 × 6371000     		dr = 349.767900000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55177704-2.55216054) × cos(-1.42710954) × R
    0.00038349999999987 × 0.143192873271223 × 6371000     		do = 349.860068616684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55177704-2.55216054) × cos(-1.42716444) × R
    0.00038349999999987 × 0.143138538810829 × 6371000     		du = 349.727314397796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42710954)-sin(-1.42716444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143192873271223-0.143138538810829)×R²
    abs(2.55216054-2.55177704)×5.43344603932405e-05×R²
    0.00038349999999987×5.43344603932405e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.43344603932405e-05×40589641000000     		ar = 122346.604941857m²