Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14846 / 15046
↖ ↑ ↗
← S 81.742145°
E146.206055°		 ← 350.92 m → S 81.742145°
E146.228028°		 →
↑
350.85 m
↓
↑
350.85 m
↓
S 81.745300°
E146.206055°		 ← 350.79 m →
123 099 m²		 S 81.745300°
E146.228028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906158447265625 y=0.918365478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906158447265625 × 214)
    floor (0.906158447265625 × 16384)
    floor (14846.5)     		tx = 14846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918365478515625 × 214)
    floor (0.918365478515625 × 16384)
    floor (15046.5)     		ty = 15046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14846 / 15046 ti = "14/14846/15046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14846/15046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14846 ÷ 214
    14846 ÷ 16384     		x = 0.9061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15046 ÷ 214
    15046 ÷ 16384     		y = 0.9183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9061279296875 × 2 - 1) × π
    0.812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55177704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.836669921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62847607996692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55177704} λ = 2.55177704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62847607996692))-π/2
    2×atan(0.0721883877889258)-π/2
    2×0.0720633832484109-π/2
    0.144126766496822-1.57079632675     		φ = -1.42666956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55177704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42666956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.742145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14846 KachelY 15046 2.55177704 -1.42666956 146.206055 -81.742145
    Oben rechts KachelX + 1 14847 KachelY 15046 2.55216054 -1.42666956 146.228028 -81.742145
    Unten links KachelX 14846 KachelY + 1 15047 2.55177704 -1.42672463 146.206055 -81.745300
    Unten rechts KachelX + 1 14847 KachelY + 1 15047 2.55216054 -1.42672463 146.228028 -81.745300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42666956--1.42672463) × R
    5.50700000001569e-05 × 6371000     		dl = 350.850970001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42666956--1.42672463) × R
    5.50700000001569e-05 × 6371000     		dr = 350.850970001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55177704-2.55216054) × cos(-1.42666956) × R
    0.00038349999999987 × 0.143628305316334 × 6371000     		do = 350.923950370716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55177704-2.55216054) × cos(-1.42672463) × R
    0.00038349999999987 × 0.143573806080621 × 6371000     		du = 350.790793559832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42666956)-sin(-1.42672463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143628305316334-0.143573806080621)×R²
    abs(2.55216054-2.55177704)×5.44992357127405e-05×R²
    0.00038349999999987×5.44992357127405e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.44992357127405e-05×40589641000000     		ar = 123098.649318097m²