Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14846 / 11402
↖ ↑ ↗
← N 47.916342°
W 16.896973°		 ← 818.76 m → N 47.916342°
W 16.885986°		 →
↑
818.80 m
↓
↑
818.80 m
↓
N 47.908978°
W 16.896973°		 ← 818.88 m →
670 450 m²		 N 47.908978°
W 16.885986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453079223632812 y=0.347976684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453079223632812 × 215)
    floor (0.453079223632812 × 32768)
    floor (14846.5)     		tx = 14846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347976684570312 × 215)
    floor (0.347976684570312 × 32768)
    floor (11402.5)     		ty = 11402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14846 / 11402 ti = "15/14846/11402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14846/11402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14846 ÷ 215
    14846 ÷ 32768     		x = 0.45306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11402 ÷ 215
    11402 ÷ 32768     		y = 0.34796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34796142578125 × 2 - 1) × π
    0.3040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.955286535628479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29490781} λ = -0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955286535628479))-π/2
    2×atan(2.59941530131729)-π/2
    2×1.20354713044459-π/2
    2.40709426088919-1.57079632675     		φ = 0.83629793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83629793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.916342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14846 KachelY 11402 -0.29490781 0.83629793 -16.896973 47.916342
    Oben rechts KachelX + 1 14847 KachelY 11402 -0.29471606 0.83629793 -16.885986 47.916342
    Unten links KachelX 14846 KachelY + 1 11403 -0.29490781 0.83616941 -16.896973 47.908978
    Unten rechts KachelX + 1 14847 KachelY + 1 11403 -0.29471606 0.83616941 -16.885986 47.908978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83629793-0.83616941) × R
    0.000128519999999965 × 6371000     		dl = 818.800919999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83629793-0.83616941) × R
    0.000128519999999965 × 6371000     		dr = 818.800919999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29490781--0.29471606) × cos(0.83629793) × R
    0.000191749999999991 × 0.670214966608158 × 6371000     		do = 818.760909145925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29490781--0.29471606) × cos(0.83616941) × R
    0.000191749999999991 × 0.670310344379327 × 6371000     		du = 818.877426374762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83629793)-sin(0.83616941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670214966608158-0.670310344379327)×R²
    abs(-0.29471606--0.29490781)×9.53777711686365e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53777711686365e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53777711686365e-05×40589641000000     		ar = 670449.888798682m²