Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14845 / 10762
↖ ↑ ↗
← N 76.171872°
W 98.453979°		 ← 145.98 m → N 76.171872°
W 98.448486°		 →
↑
146.02 m
↓
↑
146.02 m
↓
N 76.170559°
W 98.453979°		 ← 146 m →
21 318 m²		 N 76.170559°
W 98.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226524353027344 y=0.164222717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226524353027344 × 216)
    floor (0.226524353027344 × 65536)
    floor (14845.5)     		tx = 14845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164222717285156 × 216)
    floor (0.164222717285156 × 65536)
    floor (10762.5)     		ty = 10762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14845 / 10762 ti = "16/14845/10762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14845/10762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14845 ÷ 216
    14845 ÷ 65536     		x = 0.226516723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10762 ÷ 216
    10762 ÷ 65536     		y = 0.164215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226516723632812 × 2 - 1) × π
    -0.546966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71834610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164215087890625 × 2 - 1) × π
    0.67156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10979882607791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71834610} λ = -1.71834610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10979882607791))-π/2
    2×atan(8.24658212047298)-π/2
    2×1.45012314834215-π/2
    2.90024629668431-1.57079632675     		φ = 1.32944997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71834610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.453979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32944997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.171872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14845 KachelY 10762 -1.71834610 1.32944997 -98.453979 76.171872
    Oben rechts KachelX + 1 14846 KachelY 10762 -1.71825023 1.32944997 -98.448486 76.171872
    Unten links KachelX 14845 KachelY + 1 10763 -1.71834610 1.32942705 -98.453979 76.170559
    Unten rechts KachelX + 1 14846 KachelY + 1 10763 -1.71825023 1.32942705 -98.448486 76.170559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32944997-1.32942705) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dl = 146.023319999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32944997-1.32942705) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dr = 146.023319999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71834610--1.71825023) × cos(1.32944997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23901017807566 × 6371000     		do = 145.984493674132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71834610--1.71825023) × cos(1.32942705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239032433723941 × 6371000     		du = 145.998087151916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32944997)-sin(1.32942705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23901017807566-0.239032433723941)×R²
    abs(-1.71825023--1.71834610)×2.2255648280789e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2255648280789e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2255648280789e-05×40589641000000     		ar = 21318.1329179749m²