Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14844 / 11781
↖ ↑ ↗
← N 74.768629°
W 98.459473°		 ← 160.48 m → N 74.768629°
W 98.453979°		 →
↑
160.49 m
↓
↑
160.49 m
↓
N 74.767186°
W 98.459473°		 ← 160.50 m →
25 756 m²		 N 74.767186°
W 98.453979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226509094238281 y=0.179771423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226509094238281 × 216)
    floor (0.226509094238281 × 65536)
    floor (14844.5)     		tx = 14844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179771423339844 × 216)
    floor (0.179771423339844 × 65536)
    floor (11781.5)     		ty = 11781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14844 / 11781 ti = "16/14844/11781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14844/11781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14844 ÷ 216
    14844 ÷ 65536     		x = 0.22650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11781 ÷ 216
    11781 ÷ 65536     		y = 0.179763793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71844198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179763793945312 × 2 - 1) × π
    0.640472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01210342465224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71844198} λ = -1.71844198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01210342465224))-π/2
    2×atan(7.47903239493016)-π/2
    2×1.4378775393439-π/2
    2.8757550786878-1.57079632675     		φ = 1.30495875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71844198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30495875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.768629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14844 KachelY 11781 -1.71844198 1.30495875 -98.459473 74.768629
    Oben rechts KachelX + 1 14845 KachelY 11781 -1.71834610 1.30495875 -98.453979 74.768629
    Unten links KachelX 14844 KachelY + 1 11782 -1.71844198 1.30493356 -98.459473 74.767186
    Unten rechts KachelX + 1 14845 KachelY + 1 11782 -1.71834610 1.30493356 -98.453979 74.767186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30495875-1.30493356) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dl = 160.485489999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30495875-1.30493356) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dr = 160.485489999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71844198--1.71834610) × cos(1.30495875) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.262717515269439 × 6371000     		do = 160.481383024154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71844198--1.71834610) × cos(1.30493356) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.262741820331747 × 6371000     		du = 160.496229807436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30495875)-sin(1.30493356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262717515269439-0.262741820331747)×R²
    abs(-1.71834610--1.71844198)×2.43050623076613e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.43050623076613e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.43050623076613e-05×40589641000000     		ar = 25756.1247383559m²