Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14843 / 11783
↖ ↑ ↗
← N 74.765742°
W 98.464966°		 ← 160.49 m → N 74.765742°
W 98.459473°		 →
↑
160.49 m
↓
↑
160.49 m
↓
N 74.764299°
W 98.464966°		 ← 160.51 m →
25 758 m²		 N 74.764299°
W 98.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226493835449219 y=0.179801940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226493835449219 × 216)
    floor (0.226493835449219 × 65536)
    floor (14843.5)     		tx = 14843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179801940917969 × 216)
    floor (0.179801940917969 × 65536)
    floor (11783.5)     		ty = 11783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14843 / 11783 ti = "16/14843/11783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14843/11783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14843 ÷ 216
    14843 ÷ 65536     		x = 0.226486206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11783 ÷ 216
    11783 ÷ 65536     		y = 0.179794311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226486206054688 × 2 - 1) × π
    -0.547027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71853785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179794311523438 × 2 - 1) × π
    0.640411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01191167705376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71853785} λ = -1.71853785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01191167705376))-π/2
    2×atan(7.47759844591201)-π/2
    2×1.43785234928761-π/2
    2.87570469857522-1.57079632675     		φ = 1.30490837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71853785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.464966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30490837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.765742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14843 KachelY 11783 -1.71853785 1.30490837 -98.464966 74.765742
    Oben rechts KachelX + 1 14844 KachelY 11783 -1.71844198 1.30490837 -98.459473 74.765742
    Unten links KachelX 14843 KachelY + 1 11784 -1.71853785 1.30488318 -98.464966 74.764299
    Unten rechts KachelX + 1 14844 KachelY + 1 11784 -1.71844198 1.30488318 -98.459473 74.764299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30490837-1.30488318) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dl = 160.485489999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30490837-1.30488318) × R
    2.51899999998972e-05 × 6371000     		dr = 160.485489999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71853785--1.71844198) × cos(1.30490837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262766125227336 × 6371000     		do = 160.494335659142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71853785--1.71844198) × cos(1.30488318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.26279042995619 × 6371000     		du = 160.509180690279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30490837)-sin(1.30488318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262766125227336-0.26279042995619)×R²
    abs(-1.71844198--1.71853785)×2.43047288538967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.43047288538967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.43047288538967e-05×40589641000000     		ar = 25758.2033081186m²