Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14842 / 11395
↖ ↑ ↗
← N 47.967859°
W 16.940918°		 ← 817.95 m → N 47.967859°
W 16.929932°		 →
↑
817.97 m
↓
↑
817.97 m
↓
N 47.960503°
W 16.940918°		 ← 818.06 m →
669 105 m²		 N 47.960503°
W 16.929932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452957153320312 y=0.347763061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452957153320312 × 215)
    floor (0.452957153320312 × 32768)
    floor (14842.5)     		tx = 14842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347763061523438 × 215)
    floor (0.347763061523438 × 32768)
    floor (11395.5)     		ty = 11395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14842 / 11395 ti = "15/14842/11395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14842/11395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14842 ÷ 215
    14842 ÷ 32768     		x = 0.45294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11395 ÷ 215
    11395 ÷ 32768     		y = 0.347747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45294189453125 × 2 - 1) × π
    -0.0941162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29567480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347747802734375 × 2 - 1) × π
    0.30450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.956628768817841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29567480} λ = -0.29567480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.956628768817841))-π/2
    2×atan(2.60290666539586)-π/2
    2×1.20399669880956-π/2
    2.40799339761913-1.57079632675     		φ = 0.83719707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29567480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.940918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83719707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.967859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14842 KachelY 11395 -0.29567480 0.83719707 -16.940918 47.967859
    Oben rechts KachelX + 1 14843 KachelY 11395 -0.29548305 0.83719707 -16.929932 47.967859
    Unten links KachelX 14842 KachelY + 1 11396 -0.29567480 0.83706868 -16.940918 47.960503
    Unten rechts KachelX + 1 14843 KachelY + 1 11396 -0.29548305 0.83706868 -16.929932 47.960503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83719707-0.83706868) × R
    0.000128389999999978 × 6371000     		dl = 817.972689999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83719707-0.83706868) × R
    0.000128389999999978 × 6371000     		dr = 817.972689999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29567480--0.29548305) × cos(0.83719707) × R
    0.000191749999999991 × 0.669547383717316 × 6371000     		do = 817.945363683843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29567480--0.29548305) × cos(0.83706868) × R
    0.000191749999999991 × 0.669642742354945 × 6371000     		du = 818.061857538398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83719707)-sin(0.83706868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669547383717316-0.669642742354945)×R²
    abs(-0.29548305--0.29567480)×9.53586376295501e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53586376295501e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53586376295501e-05×40589641000000     		ar = 669104.614720248m²