Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14841 / 21515
↖ ↑ ↗
← S 49.001844°
W 16.951904°		 ← 801.40 m → S 49.001844°
W 16.940918°		 →
↑
801.34 m
↓
↑
801.34 m
↓
S 49.009051°
W 16.951904°		 ← 801.28 m →
642 148 m²		 S 49.009051°
W 16.940918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452926635742188 y=0.656600952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452926635742188 × 215)
    floor (0.452926635742188 × 32768)
    floor (14841.5)     		tx = 14841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656600952148438 × 215)
    floor (0.656600952148438 × 32768)
    floor (21515.5)     		ty = 21515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14841 / 21515 ti = "15/14841/21515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14841/21515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14841 ÷ 215
    14841 ÷ 32768     		x = 0.452911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21515 ÷ 215
    21515 ÷ 32768     		y = 0.656585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.09417724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29586654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.31317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.983856927802032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29586654} λ = -0.29586654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983856927802032))-π/2
    2×atan(0.373866338998058)-π/2
    2×0.357776405448131-π/2
    0.715552810896261-1.57079632675     		φ = -0.85524352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29586654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.951904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85524352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.001844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14841 KachelY 21515 -0.29586654 -0.85524352 -16.951904 -49.001844
    Oben rechts KachelX + 1 14842 KachelY 21515 -0.29567480 -0.85524352 -16.940918 -49.001844
    Unten links KachelX 14841 KachelY + 1 21516 -0.29586654 -0.85536930 -16.951904 -49.009051
    Unten rechts KachelX + 1 14842 KachelY + 1 21516 -0.29567480 -0.85536930 -16.940918 -49.009051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85524352--0.85536930) × R
    0.000125779999999964 × 6371000     		dl = 801.344379999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85524352--0.85536930) × R
    0.000125779999999964 × 6371000     		dr = 801.344379999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29586654--0.29567480) × cos(-0.85524352) × R
    0.000191739999999996 × 0.656034737173587 × 6371000     		do = 801.395988321565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29586654--0.29567480) × cos(-0.85536930) × R
    0.000191739999999996 × 0.655939801957449 × 6371000     		du = 801.280017783646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85524352)-sin(-0.85536930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656034737173587-0.655939801957449)×R²
    abs(-0.29567480--0.29586654)×9.49352161382366e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49352161382366e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49352161382366e-05×40589641000000     		ar = 642147.706073143m²