Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14841 / 11784
↖ ↑ ↗
← N 74.764299°
W 98.475952°		 ← 160.51 m → N 74.764299°
W 98.470459°		 →
↑
160.55 m
↓
↑
160.55 m
↓
N 74.762855°
W 98.475952°		 ← 160.52 m →
25 771 m²		 N 74.762855°
W 98.470459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226463317871094 y=0.179817199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226463317871094 × 216)
    floor (0.226463317871094 × 65536)
    floor (14841.5)     		tx = 14841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179817199707031 × 216)
    floor (0.179817199707031 × 65536)
    floor (11784.5)     		ty = 11784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14841 / 11784 ti = "16/14841/11784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14841/11784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14841 ÷ 216
    14841 ÷ 65536     		x = 0.226455688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11784 ÷ 216
    11784 ÷ 65536     		y = 0.1798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226455688476562 × 2 - 1) × π
    -0.547088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71872960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1798095703125 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01181580325452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71872960} λ = -1.71872960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01181580325452))-π/2
    2×atan(7.47688157450495)-π/2
    2×1.4378397525117-π/2
    2.87567950502341-1.57079632675     		φ = 1.30488318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71872960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30488318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.764299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14841 KachelY 11784 -1.71872960 1.30488318 -98.475952 74.764299
    Oben rechts KachelX + 1 14842 KachelY 11784 -1.71863373 1.30488318 -98.470459 74.764299
    Unten links KachelX 14841 KachelY + 1 11785 -1.71872960 1.30485798 -98.475952 74.762855
    Unten rechts KachelX + 1 14842 KachelY + 1 11785 -1.71863373 1.30485798 -98.470459 74.762855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30488318-1.30485798) × R
    2.52000000000585e-05 × 6371000     		dl = 160.549200000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30488318-1.30485798) × R
    2.52000000000585e-05 × 6371000     		dr = 160.549200000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71872960--1.71863373) × cos(1.30488318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.26279042995619 × 6371000     		do = 160.509180690279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71872960--1.71863373) × cos(1.30485798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.262814744166757 × 6371000     		du = 160.52403151273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30488318)-sin(1.30485798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26279042995619-0.262814744166757)×R²
    abs(-1.71863373--1.71872960)×2.43142105671446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.43142105671446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.43142105671446e-05×40589641000000     		ar = 25770.812697449m²