Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1484 / 1740
↖ ↑ ↗
← N 26.115986°
W 49.570312°		 ← 8 775.21 m → N 26.115986°
W 49.482422°		 →
↑
8 778.15 m
↓
↑
8 778.15 m
↓
N 26.037042°
W 49.570312°		 ← 8 781.13 m →
77 056 158 m²		 N 26.037042°
W 49.482422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3624267578125 y=0.4249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3624267578125 × 212)
    floor (0.3624267578125 × 4096)
    floor (1484.5)     		tx = 1484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4249267578125 × 212)
    floor (0.4249267578125 × 4096)
    floor (1740.5)     		ty = 1740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1484 / 1740 ti = "12/1484/1740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1484/1740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1484 ÷ 212
    1484 ÷ 4096     		x = 0.3623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1740 ÷ 212
    1740 ÷ 4096     		y = 0.4248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86516516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86516516} λ = -0.86516516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472466082655273))-π/2
    2×atan(1.60394478038089)-π/2
    2×1.01330313429217-π/2
    2.02660626858434-1.57079632675     		φ = 0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86516516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1484 KachelY 1740 -0.86516516 0.45580994 -49.570312 26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 1485 KachelY 1740 -0.86363118 0.45580994 -49.482422 26.115986
    Unten links KachelX 1484 KachelY + 1 1741 -0.86516516 0.45443211 -49.570312 26.037042
    Unten rechts KachelX + 1 1485 KachelY + 1 1741 -0.86363118 0.45443211 -49.482422 26.037042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45580994-0.45443211) × R
    0.00137783000000002 × 6371000     		dl = 8778.15493000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45580994-0.45443211) × R
    0.00137783000000002 × 6371000     		dr = 8778.15493000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86516516--0.86363118) × cos(0.45580994) × R
    0.00153397999999993 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 8775.211516345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86516516--0.86363118) × cos(0.45443211) × R
    0.00153397999999993 × 0.898510449574373 × 6371000     		du = 8781.13056567974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45580994)-sin(0.45443211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.898510449574373)×R²
    abs(-0.86363118--0.86516516)×0.000605654094199992×R²
    0.00153397999999993×0.000605654094199992×6371000²
    0.00153397999999993×0.000605654094199992×40589641000000     		ar = 77056157.5904297m²