Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1484 / 1723
↖ ↑ ↗
← N 27.449790°
W 49.570312°		 ← 8 672.70 m → N 27.449790°
W 49.482422°		 →
↑
8 675.77 m
↓
↑
8 675.77 m
↓
N 27.371767°
W 49.570312°		 ← 8 678.82 m →
75 268 932 m²		 N 27.371767°
W 49.482422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3624267578125 y=0.4207763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3624267578125 × 212)
    floor (0.3624267578125 × 4096)
    floor (1484.5)     		tx = 1484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4207763671875 × 212)
    floor (0.4207763671875 × 4096)
    floor (1723.5)     		ty = 1723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1484 / 1723 ti = "12/1484/1723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1484/1723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1484 ÷ 212
    1484 ÷ 4096     		x = 0.3623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1723 ÷ 212
    1723 ÷ 4096     		y = 0.420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86516516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420654296875 × 2 - 1) × π
    0.15869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86516516} λ = -0.86516516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498543756048584))-π/2
    2×atan(1.64632207765127)-π/2
    2×1.02494277350954-π/2
    2.04988554701909-1.57079632675     		φ = 0.47908922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86516516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47908922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.449790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1484 KachelY 1723 -0.86516516 0.47908922 -49.570312 27.449790
    Oben rechts KachelX + 1 1485 KachelY 1723 -0.86363118 0.47908922 -49.482422 27.449790
    Unten links KachelX 1484 KachelY + 1 1724 -0.86516516 0.47772746 -49.570312 27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 1485 KachelY + 1 1724 -0.86363118 0.47772746 -49.482422 27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47908922-0.47772746) × R
    0.00136175999999999 × 6371000     		dl = 8675.77295999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47908922-0.47772746) × R
    0.00136175999999999 × 6371000     		dr = 8675.77295999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86516516--0.86363118) × cos(0.47908922) × R
    0.00153397999999993 × 0.887415134068556 × 6371000     		do = 8672.69619614053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86516516--0.86363118) × cos(0.47772746) × R
    0.00153397999999993 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 8678.82296978377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47908922)-sin(0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887415134068556-0.88804204310942)×R²
    abs(-0.86363118--0.86516516)×0.000626909040863377×R²
    0.00153397999999993×0.000626909040863377×6371000²
    0.00153397999999993×0.000626909040863377×40589641000000     		ar = 75268932.0288205m²