Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14838 / 10742
↖ ↑ ↗
← N 76.198106°
W 98.492432°		 ← 145.71 m → N 76.198106°
W 98.486939°		 →
↑
145.70 m
↓
↑
145.70 m
↓
N 76.196796°
W 98.492432°		 ← 145.73 m →
21 232 m²		 N 76.196796°
W 98.486939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226417541503906 y=0.163917541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226417541503906 × 216)
    floor (0.226417541503906 × 65536)
    floor (14838.5)     		tx = 14838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163917541503906 × 216)
    floor (0.163917541503906 × 65536)
    floor (10742.5)     		ty = 10742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14838 / 10742 ti = "16/14838/10742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14838/10742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14838 ÷ 216
    14838 ÷ 65536     		x = 0.226409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10742 ÷ 216
    10742 ÷ 65536     		y = 0.163909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.54718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71901722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163909912109375 × 2 - 1) × π
    0.67218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11171630206271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71901722} λ = -1.71901722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11171630206271))-π/2
    2×atan(8.26240991350267)-π/2
    2×1.4503520832792-π/2
    2.90070416655841-1.57079632675     		φ = 1.32990784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71901722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.492432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32990784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.198106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14838 KachelY 10742 -1.71901722 1.32990784 -98.492432 76.198106
    Oben rechts KachelX + 1 14839 KachelY 10742 -1.71892135 1.32990784 -98.486939 76.198106
    Unten links KachelX 14838 KachelY + 1 10743 -1.71901722 1.32988497 -98.492432 76.196796
    Unten rechts KachelX + 1 14839 KachelY + 1 10743 -1.71892135 1.32988497 -98.486939 76.196796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32990784-1.32988497) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dl = 145.704770000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32990784-1.32988497) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dr = 145.704770000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71901722--1.71892135) × cos(1.32990784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238565553455362 × 6371000     		do = 145.712922393813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71901722--1.71892135) × cos(1.32988497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238587763053643 × 6371000     		du = 145.72648774482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32990784)-sin(1.32988497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238565553455362-0.238587763053643)×R²
    abs(-1.71892135--1.71901722)×2.2209598281725e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2209598281725e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2209598281725e-05×40589641000000     		ar = 21232.0561124303m²