Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14837 / 20491
↖ ↑ ↗
← S 41.071069°
W 16.995849°		 ← 920.94 m → S 41.071069°
W 16.984863°		 →
↑
920.93 m
↓
↑
920.93 m
↓
S 41.079351°
W 16.995849°		 ← 920.82 m →
848 066 m²		 S 41.079351°
W 16.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452804565429688 y=0.625350952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452804565429688 × 215)
    floor (0.452804565429688 × 32768)
    floor (14837.5)     		tx = 14837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625350952148438 × 215)
    floor (0.625350952148438 × 32768)
    floor (20491.5)     		ty = 20491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14837 / 20491 ti = "15/14837/20491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14837/20491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14837 ÷ 215
    14837 ÷ 32768     		x = 0.452789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20491 ÷ 215
    20491 ÷ 32768     		y = 0.625335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.09442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29663353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.25067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.787507386958282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29663353} λ = -0.29663353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787507386958282))-π/2
    2×atan(0.454977465806201)-π/2
    2×0.426985471582544-π/2
    0.853970943165088-1.57079632675     		φ = -0.71682538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29663353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.995849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71682538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.071069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14837 KachelY 20491 -0.29663353 -0.71682538 -16.995849 -41.071069
    Oben rechts KachelX + 1 14838 KachelY 20491 -0.29644179 -0.71682538 -16.984863 -41.071069
    Unten links KachelX 14837 KachelY + 1 20492 -0.29663353 -0.71696993 -16.995849 -41.079351
    Unten rechts KachelX + 1 14838 KachelY + 1 20492 -0.29644179 -0.71696993 -16.984863 -41.079351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71682538--0.71696993) × R
    0.000144550000000021 × 6371000     		dl = 920.928050000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71682538--0.71696993) × R
    0.000144550000000021 × 6371000     		dr = 920.928050000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29663353--0.29644179) × cos(-0.71682538) × R
    0.000191739999999996 × 0.753895232966485 × 6371000     		do = 920.939976314439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29663353--0.29644179) × cos(-0.71696993) × R
    0.000191739999999996 × 0.753800256513115 × 6371000     		du = 920.823955402127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71682538)-sin(-0.71696993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753895232966485-0.753800256513115)×R²
    abs(-0.29644179--0.29663353)×9.49764533691999e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49764533691999e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49764533691999e-05×40589641000000     		ar = 848066.034575421m²