Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14836 / 21170
↖ ↑ ↗
← S 46.452997°
W 17.006836°		 ← 841.65 m → S 46.452997°
W 16.995849°		 →
↑
841.55 m
↓
↑
841.55 m
↓
S 46.460565°
W 17.006836°		 ← 841.53 m →
708 235 m²		 S 46.460565°
W 16.995849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452774047851562 y=0.646072387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452774047851562 × 215)
    floor (0.452774047851562 × 32768)
    floor (14836.5)     		tx = 14836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646072387695312 × 215)
    floor (0.646072387695312 × 32768)
    floor (21170.5)     		ty = 21170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14836 / 21170 ti = "15/14836/21170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14836/21170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14836 ÷ 215
    14836 ÷ 32768     		x = 0.4527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21170 ÷ 215
    21170 ÷ 32768     		y = 0.64605712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29682528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.2921142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.917704006326355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29682528} λ = -0.29682528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917704006326355))-π/2
    2×atan(0.399435089499936)-π/2
    2×0.380019290457593-π/2
    0.760038580915187-1.57079632675     		φ = -0.81075775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29682528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.006836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81075775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.452997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14836 KachelY 21170 -0.29682528 -0.81075775 -17.006836 -46.452997
    Oben rechts KachelX + 1 14837 KachelY 21170 -0.29663353 -0.81075775 -16.995849 -46.452997
    Unten links KachelX 14836 KachelY + 1 21171 -0.29682528 -0.81088984 -17.006836 -46.460565
    Unten rechts KachelX + 1 14837 KachelY + 1 21171 -0.29663353 -0.81088984 -16.995849 -46.460565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81075775--0.81088984) × R
    0.000132089999999918 × 6371000     		dl = 841.545389999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81075775--0.81088984) × R
    0.000132089999999918 × 6371000     		dr = 841.545389999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29682528--0.29663353) × cos(-0.81075775) × R
    0.000191750000000046 × 0.688949406448049 × 6371000     		do = 841.647636181341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29682528--0.29663353) × cos(-0.81088984) × R
    0.000191750000000046 × 0.688853660359899 × 6371000     		du = 841.530669002024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81075775)-sin(-0.81088984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688949406448049-0.688853660359899)×R²
    abs(-0.29663353--0.29682528)×9.57460881495509e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57460881495509e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57460881495509e-05×40589641000000     		ar = 708235.472666515m²