Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14836 / 15036
↖ ↑ ↗
← S 81.710526°
E145.986328°		 ← 352.25 m → S 81.710526°
E146.008301°		 →
↑
352.19 m
↓
↑
352.19 m
↓
S 81.713693°
E145.986328°		 ← 352.12 m →
124 035 m²		 S 81.713693°
E146.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905548095703125 y=0.917755126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905548095703125 × 214)
    floor (0.905548095703125 × 16384)
    floor (14836.5)     		tx = 14836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917755126953125 × 214)
    floor (0.917755126953125 × 16384)
    floor (15036.5)     		ty = 15036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14836 / 15036 ti = "14/14836/15036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14836/15036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14836 ÷ 214
    14836 ÷ 16384     		x = 0.905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15036 ÷ 214
    15036 ÷ 16384     		y = 0.917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905517578125 × 2 - 1) × π
    0.81103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54794209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.83544921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62464112799731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54794209} λ = 2.54794209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62464112799731))-π/2
    2×atan(0.0724657583002165)-π/2
    2×0.0723393103267211-π/2
    0.144678620653442-1.57079632675     		φ = -1.42611771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54794209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42611771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.710526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14836 KachelY 15036 2.54794209 -1.42611771 145.986328 -81.710526
    Oben rechts KachelX + 1 14837 KachelY 15036 2.54832558 -1.42611771 146.008301 -81.710526
    Unten links KachelX 14836 KachelY + 1 15037 2.54794209 -1.42617299 145.986328 -81.713693
    Unten rechts KachelX + 1 14837 KachelY + 1 15037 2.54832558 -1.42617299 146.008301 -81.713693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42611771--1.42617299) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dl = 352.188879999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42611771--1.42617299) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dr = 352.188879999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54794209-2.54832558) × cos(-1.42611771) × R
    0.000383490000000375 × 0.144174411674396 × 6371000     		do = 352.249054942778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54794209-2.54832558) × cos(-1.42617299) × R
    0.000383490000000375 × 0.144119709003421 × 6371000     		du = 352.115404567998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42611771)-sin(-1.42617299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144174411674396-0.144119709003421)×R²
    abs(2.54832558-2.54794209)×5.47026709752374e-05×R²
    0.000383490000000375×5.47026709752374e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.47026709752374e-05×40589641000000     		ar = 124034.665085211m²