Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14836 / 11807
↖ ↑ ↗
← N 74.731062°
W 98.503418°		 ← 160.87 m → N 74.731062°
W 98.497925°		 →
↑
160.87 m
↓
↑
160.87 m
↓
N 74.729615°
W 98.503418°		 ← 160.88 m →
25 880 m²		 N 74.729615°
W 98.497925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226387023925781 y=0.180168151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226387023925781 × 216)
    floor (0.226387023925781 × 65536)
    floor (14836.5)     		tx = 14836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180168151855469 × 216)
    floor (0.180168151855469 × 65536)
    floor (11807.5)     		ty = 11807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14836 / 11807 ti = "16/14836/11807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14836/11807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14836 ÷ 216
    14836 ÷ 65536     		x = 0.22637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11807 ÷ 216
    11807 ÷ 65536     		y = 0.180160522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.5472412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71920897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.180160522460938 × 2 - 1) × π
    0.639678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.00961070587199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71920897} λ = -1.71920897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.00961070587199))-π/2
    2×atan(7.46041248715963)-π/2
    2×1.43754970483891-π/2
    2.87509940967781-1.57079632675     		φ = 1.30430308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71920897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.503418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30430308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.731062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14836 KachelY 11807 -1.71920897 1.30430308 -98.503418 74.731062
    Oben rechts KachelX + 1 14837 KachelY 11807 -1.71911309 1.30430308 -98.497925 74.731062
    Unten links KachelX 14836 KachelY + 1 11808 -1.71920897 1.30427783 -98.503418 74.729615
    Unten rechts KachelX + 1 14837 KachelY + 1 11808 -1.71911309 1.30427783 -98.497925 74.729615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30430308-1.30427783) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dl = 160.867749999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30430308-1.30427783) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dr = 160.867749999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71920897--1.71911309) × cos(1.30430308) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.263350096896925 × 6371000     		do = 160.867796447524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71920897--1.71911309) × cos(1.30427783) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.263374455496301 × 6371000     		du = 160.882675934004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30430308)-sin(1.30427783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263350096896925-0.263374455496301)×R²
    abs(-1.71911309--1.71920897)×2.43585993756623e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.43585993756623e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.43585993756623e-05×40589641000000     		ar = 25879.6372781972m²