Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14835 / 21168
↖ ↑ ↗
← S 46.437857°
W 17.017822°		 ← 841.88 m → S 46.437857°
W 17.006836°		 →
↑
841.80 m
↓
↑
841.80 m
↓
S 46.445427°
W 17.017822°		 ← 841.76 m →
708 647 m²		 S 46.445427°
W 17.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452743530273438 y=0.646011352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452743530273438 × 215)
    floor (0.452743530273438 × 32768)
    floor (14835.5)     		tx = 14835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646011352539062 × 215)
    floor (0.646011352539062 × 32768)
    floor (21168.5)     		ty = 21168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14835 / 21168 ti = "15/14835/21168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14835/21168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14835 ÷ 215
    14835 ÷ 32768     		x = 0.452728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21168 ÷ 215
    21168 ÷ 32768     		y = 0.64599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.09454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29701703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.917320511129395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29701703} λ = -0.29701703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917320511129395))-π/2
    2×atan(0.399588300314184)-π/2
    2×0.380151413212421-π/2
    0.760302826424842-1.57079632675     		φ = -0.81049350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29701703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.017822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81049350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.437857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14835 KachelY 21168 -0.29701703 -0.81049350 -17.017822 -46.437857
    Oben rechts KachelX + 1 14836 KachelY 21168 -0.29682528 -0.81049350 -17.006836 -46.437857
    Unten links KachelX 14835 KachelY + 1 21169 -0.29701703 -0.81062563 -17.017822 -46.445427
    Unten rechts KachelX + 1 14836 KachelY + 1 21169 -0.29682528 -0.81062563 -17.006836 -46.445427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81049350--0.81062563) × R
    0.000132130000000008 × 6371000     		dl = 841.800230000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81049350--0.81062563) × R
    0.000132130000000008 × 6371000     		dr = 841.800230000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29701703--0.29682528) × cos(-0.81049350) × R
    0.000191749999999991 × 0.689140913284706 × 6371000     		do = 841.881588449401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29701703--0.29682528) × cos(-0.81062563) × R
    0.000191749999999991 × 0.689045162257121 × 6371000     		du = 841.764615235876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81049350)-sin(-0.81062563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689140913284706-0.689045162257121)×R²
    abs(-0.29682528--0.29701703)×9.5751027584412e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5751027584412e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5751027584412e-05×40589641000000     		ar = 708646.881780889m²