Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14835 / 15043
↖ ↑ ↗
← S 81.732671°
E145.964355°		 ← 351.32 m → S 81.732671°
E145.986328°		 →
↑
351.30 m
↓
↑
351.30 m
↓
S 81.735831°
E145.964355°		 ← 351.19 m →
123 396 m²		 S 81.735831°
E145.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905487060546875 y=0.918182373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905487060546875 × 214)
    floor (0.905487060546875 × 16384)
    floor (14835.5)     		tx = 14835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918182373046875 × 214)
    floor (0.918182373046875 × 16384)
    floor (15043.5)     		ty = 15043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14835 / 15043 ti = "14/14835/15043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14835/15043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14835 ÷ 214
    14835 ÷ 16384     		x = 0.90545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15043 ÷ 214
    15043 ÷ 16384     		y = 0.91815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90545654296875 × 2 - 1) × π
    0.8109130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54755859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.8363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62732559437604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54755859} λ = 2.54755859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62732559437604))-π/2
    2×atan(0.0722714872821247)-π/2
    2×0.0721460514480185-π/2
    0.144292102896037-1.57079632675     		φ = -1.42650422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54755859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42650422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.732671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14835 KachelY 15043 2.54755859 -1.42650422 145.964355 -81.732671
    Oben rechts KachelX + 1 14836 KachelY 15043 2.54794209 -1.42650422 145.986328 -81.732671
    Unten links KachelX 14835 KachelY + 1 15044 2.54755859 -1.42655936 145.964355 -81.735831
    Unten rechts KachelX + 1 14836 KachelY + 1 15044 2.54794209 -1.42655936 145.986328 -81.735831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42650422--1.42655936) × R
    5.51399999999536e-05 × 6371000     		dl = 351.296939999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42650422--1.42655936) × R
    5.51399999999536e-05 × 6371000     		dr = 351.296939999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54755859-2.54794209) × cos(-1.42650422) × R
    0.00038349999999987 × 0.143791929058351 × 6371000     		do = 351.323728741675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54755859-2.54794209) × cos(-1.42655936) × R
    0.00038349999999987 × 0.1437373618578 × 6371000     		du = 351.190405873763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42650422)-sin(-1.42655936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143791929058351-0.1437373618578)×R²
    abs(2.54794209-2.54755859)×5.45672005512754e-05×R²
    0.00038349999999987×5.45672005512754e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.45672005512754e-05×40589641000000     		ar = 123395.532928673m²