Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14835 / 11381
↖ ↑ ↗
← N 48.070738°
W 17.017822°		 ← 816.31 m → N 48.070738°
W 17.006836°		 →
↑
816.38 m
↓
↑
816.38 m
↓
N 48.063397°
W 17.017822°		 ← 816.43 m →
666 471 m²		 N 48.063397°
W 17.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452743530273438 y=0.347335815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452743530273438 × 215)
    floor (0.452743530273438 × 32768)
    floor (14835.5)     		tx = 14835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347335815429688 × 215)
    floor (0.347335815429688 × 32768)
    floor (11381.5)     		ty = 11381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14835 / 11381 ti = "15/14835/11381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14835/11381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14835 ÷ 215
    14835 ÷ 32768     		x = 0.452728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11381 ÷ 215
    11381 ÷ 32768     		y = 0.347320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.09454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29701703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347320556640625 × 2 - 1) × π
    0.30535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.959313235196564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29701703} λ = -0.29701703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959313235196564))-π/2
    2×atan(2.6099034679649)-π/2
    2×1.20489449167615-π/2
    2.40978898335231-1.57079632675     		φ = 0.83899266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29701703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.017822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83899266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.070738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14835 KachelY 11381 -0.29701703 0.83899266 -17.017822 48.070738
    Oben rechts KachelX + 1 14836 KachelY 11381 -0.29682528 0.83899266 -17.006836 48.070738
    Unten links KachelX 14835 KachelY + 1 11382 -0.29701703 0.83886452 -17.017822 48.063397
    Unten rechts KachelX + 1 14836 KachelY + 1 11382 -0.29682528 0.83886452 -17.006836 48.063397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83899266-0.83886452) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dl = 816.379939999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83899266-0.83886452) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dr = 816.379939999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29701703--0.29682528) × cos(0.83899266) × R
    0.000191749999999991 × 0.668212595866378 × 6371000     		do = 816.314734454715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29701703--0.29682528) × cos(0.83886452) × R
    0.000191749999999991 × 0.668307922744667 × 6371000     		du = 816.431189510813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83899266)-sin(0.83886452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668212595866378-0.668307922744667)×R²
    abs(-0.29682528--0.29701703)×9.53268782889483e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53268782889483e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53268782889483e-05×40589641000000     		ar = 666470.510632879m²