Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14833 / 15037
↖ ↑ ↗
← S 81.713693°
E145.920410°		 ← 352.12 m → S 81.713693°
E145.942383°		 →
↑
352 m
↓
↑
352 m
↓
S 81.716859°
E145.920410°		 ← 351.99 m →
123 924 m²		 S 81.716859°
E145.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905364990234375 y=0.917816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905364990234375 × 214)
    floor (0.905364990234375 × 16384)
    floor (14833.5)     		tx = 14833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917816162109375 × 214)
    floor (0.917816162109375 × 16384)
    floor (15037.5)     		ty = 15037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14833 / 15037 ti = "14/14833/15037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14833/15037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14833 ÷ 214
    14833 ÷ 16384     		x = 0.90533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15037 ÷ 214
    15037 ÷ 16384     		y = 0.91778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    0.8106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54679160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.8355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62502462319428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54679160} λ = 2.54679160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62502462319428))-π/2
    2×atan(0.0724379733580008)-π/2
    2×0.0723116704736377-π/2
    0.144623340947275-1.57079632675     		φ = -1.42617299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54679160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42617299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.713693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14833 KachelY 15037 2.54679160 -1.42617299 145.920410 -81.713693
    Oben rechts KachelX + 1 14834 KachelY 15037 2.54717510 -1.42617299 145.942383 -81.713693
    Unten links KachelX 14833 KachelY + 1 15038 2.54679160 -1.42622824 145.920410 -81.716859
    Unten rechts KachelX + 1 14834 KachelY + 1 15038 2.54717510 -1.42622824 145.942383 -81.716859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42617299--1.42622824) × R
    5.52499999999512e-05 × 6371000     		dl = 351.997749999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42617299--1.42622824) × R
    5.52499999999512e-05 × 6371000     		dr = 351.997749999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54679160-2.54717510) × cos(-1.42617299) × R
    0.00038349999999987 × 0.144119709003421 × 6371000     		do = 352.124586434196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54679160-2.54717510) × cos(-1.42622824) × R
    0.00038349999999987 × 0.14406503557908 × 6371000     		du = 351.991004031982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42617299)-sin(-1.42622824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144119709003421-0.14406503557908)×R²
    abs(2.54717510-2.54679160)×5.46734243407898e-05×R²
    0.00038349999999987×5.46734243407898e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.46734243407898e-05×40589641000000     		ar = 123923.551822359m²