Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14832 / 20429
↖ ↑ ↗
← S 40.555548°
W 17.050781°		 ← 928.12 m → S 40.555548°
W 17.039795°		 →
↑
928.13 m
↓
↑
928.13 m
↓
S 40.563895°
W 17.050781°		 ← 928.01 m →
861 363 m²		 S 40.563895°
W 17.039795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452651977539062 y=0.623458862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452651977539062 × 215)
    floor (0.452651977539062 × 32768)
    floor (14832.5)     		tx = 14832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623458862304688 × 215)
    floor (0.623458862304688 × 32768)
    floor (20429.5)     		ty = 20429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14832 / 20429 ti = "15/14832/20429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14832/20429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14832 ÷ 215
    14832 ÷ 32768     		x = 0.45263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20429 ÷ 215
    20429 ÷ 32768     		y = 0.623443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45263671875 × 2 - 1) × π
    -0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.24688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.775619035852509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29759227} λ = -0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775619035852509))-π/2
    2×atan(0.460418677095015)-π/2
    2×0.431484242978249-π/2
    0.862968485956497-1.57079632675     		φ = -0.70782784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70782784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.555548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14832 KachelY 20429 -0.29759227 -0.70782784 -17.050781 -40.555548
    Oben rechts KachelX + 1 14833 KachelY 20429 -0.29740053 -0.70782784 -17.039795 -40.555548
    Unten links KachelX 14832 KachelY + 1 20430 -0.29759227 -0.70797352 -17.050781 -40.563895
    Unten rechts KachelX + 1 14833 KachelY + 1 20430 -0.29740053 -0.70797352 -17.039795 -40.563895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70782784--0.70797352) × R
    0.000145680000000037 × 6371000     		dl = 928.127280000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70782784--0.70797352) × R
    0.000145680000000037 × 6371000     		dr = 928.127280000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29759227--0.29740053) × cos(-0.70782784) × R
    0.000191739999999996 × 0.759775973040367 × 6371000     		do = 928.123744545792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29759227--0.29740053) × cos(-0.70797352) × R
    0.000191739999999996 × 0.759681246034774 × 6371000     		du = 928.008028352782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70782784)-sin(-0.70797352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759775973040367-0.759681246034774)×R²
    abs(-0.29740053--0.29759227)×9.47270055929872e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47270055929872e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47270055929872e-05×40589641000000     		ar = 861363.268374023m²