Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14831 / 14909
↖ ↑ ↗
← S 81.298354°
E145.876465°		 ← 369.64 m → S 81.298354°
E145.898438°		 →
↑
369.58 m
↓
↑
369.58 m
↓
S 81.301678°
E145.876465°		 ← 369.50 m →
136 587 m²		 S 81.301678°
E145.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905242919921875 y=0.910003662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905242919921875 × 214)
    floor (0.905242919921875 × 16384)
    floor (14831.5)     		tx = 14831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910003662109375 × 214)
    floor (0.910003662109375 × 16384)
    floor (14909.5)     		ty = 14909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14831 / 14909 ti = "14/14831/14909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14831/14909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14831 ÷ 214
    14831 ÷ 16384     		x = 0.90521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14909 ÷ 214
    14909 ÷ 16384     		y = 0.90997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90521240234375 × 2 - 1) × π
    0.8104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54602461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.8199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57593723798334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54602461} λ = 2.54602461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57593723798334))-π/2
    2×atan(0.0760824819801917)-π/2
    2×0.0759361874778674-π/2
    0.151872374955735-1.57079632675     		φ = -1.41892395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54602461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.876465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41892395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.298354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14831 KachelY 14909 2.54602461 -1.41892395 145.876465 -81.298354
    Oben rechts KachelX + 1 14832 KachelY 14909 2.54640811 -1.41892395 145.898438 -81.298354
    Unten links KachelX 14831 KachelY + 1 14910 2.54602461 -1.41898196 145.876465 -81.301678
    Unten rechts KachelX + 1 14832 KachelY + 1 14910 2.54640811 -1.41898196 145.898438 -81.301678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41892395--1.41898196) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dl = 369.581710000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41892395--1.41898196) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dr = 369.581710000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54602461-2.54640811) × cos(-1.41892395) × R
    0.00038349999999987 × 0.151289221464006 × 6371000     		do = 369.64170208462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54602461-2.54640811) × cos(-1.41898196) × R
    0.00038349999999987 × 0.151231878931244 × 6371000     		du = 369.501598307186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41892395)-sin(-1.41898196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151289221464006-0.151231878931244)×R²
    abs(2.54640811-2.54602461)×5.73425327623778e-05×R²
    0.00038349999999987×5.73425327623778e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.73425327623778e-05×40589641000000     		ar = 136586.922485234m²