Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14831 / 14831
↖ ↑ ↗
← S 81.035194°
E145.876465°		 ← 380.73 m → S 81.035194°
E145.898438°		 →
↑
380.67 m
↓
↑
380.67 m
↓
S 81.038617°
E145.876465°		 ← 380.59 m →
144 904 m²		 S 81.038617°
E145.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905242919921875 y=0.905242919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905242919921875 × 214)
    floor (0.905242919921875 × 16384)
    floor (14831.5)     		tx = 14831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905242919921875 × 214)
    floor (0.905242919921875 × 16384)
    floor (14831.5)     		ty = 14831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14831 / 14831 ti = "14/14831/14831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14831/14831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14831 ÷ 214
    14831 ÷ 16384     		x = 0.90521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14831 ÷ 214
    14831 ÷ 16384     		y = 0.90521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90521240234375 × 2 - 1) × π
    0.8104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54602461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.8104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54602461262042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54602461} λ = 2.54602461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54602461262042))-π/2
    2×atan(0.0783926886789555)-π/2
    2×0.0782326930434805-π/2
    0.156465386086961-1.57079632675     		φ = -1.41433094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54602461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.876465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41433094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.035194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14831 KachelY 14831 2.54602461 -1.41433094 145.876465 -81.035194
    Oben rechts KachelX + 1 14832 KachelY 14831 2.54640811 -1.41433094 145.898438 -81.035194
    Unten links KachelX 14831 KachelY + 1 14832 2.54602461 -1.41439069 145.876465 -81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 14832 KachelY + 1 14832 2.54640811 -1.41439069 145.898438 -81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41433094--1.41439069) × R
    5.97500000001361e-05 × 6371000     		dl = 380.667250000867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41433094--1.41439069) × R
    5.97500000001361e-05 × 6371000     		dr = 380.667250000867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54602461-2.54640811) × cos(-1.41433094) × R
    0.00038349999999987 × 0.155827752068705 × 6371000     		do = 380.730596332668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54602461-2.54640811) × cos(-1.41439069) × R
    0.00038349999999987 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 380.586393090854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41433094)-sin(-1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155827752068705-0.155768731682034)×R²
    abs(2.54640811-2.54602461)×5.90203866709105e-05×R²
    0.00038349999999987×5.90203866709105e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.90203866709105e-05×40589641000000     		ar = 144904.222415031m²