Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14830 / 21176
↖ ↑ ↗
← S 46.498392°
W 17.072754°		 ← 840.95 m → S 46.498392°
W 17.061768°		 →
↑
840.91 m
↓
↑
840.91 m
↓
S 46.505955°
W 17.072754°		 ← 840.83 m →
707 109 m²		 S 46.505955°
W 17.061768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452590942382812 y=0.646255493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452590942382812 × 215)
    floor (0.452590942382812 × 32768)
    floor (14830.5)     		tx = 14830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646255493164062 × 215)
    floor (0.646255493164062 × 32768)
    floor (21176.5)     		ty = 21176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14830 / 21176 ti = "15/14830/21176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14830/21176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14830 ÷ 215
    14830 ÷ 32768     		x = 0.45257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21176 ÷ 215
    21176 ÷ 32768     		y = 0.646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.0948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29797577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.29248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.918854491917236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29797577} λ = -0.29797577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918854491917236))-π/2
    2×atan(0.398975809433182)-π/2
    2×0.379623142508302-π/2
    0.759246285016604-1.57079632675     		φ = -0.81155004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29797577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.072754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81155004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.498392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14830 KachelY 21176 -0.29797577 -0.81155004 -17.072754 -46.498392
    Oben rechts KachelX + 1 14831 KachelY 21176 -0.29778402 -0.81155004 -17.061768 -46.498392
    Unten links KachelX 14830 KachelY + 1 21177 -0.29797577 -0.81168203 -17.072754 -46.505955
    Unten rechts KachelX + 1 14831 KachelY + 1 21177 -0.29778402 -0.81168203 -17.061768 -46.505955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81155004--0.81168203) × R
    0.000131990000000082 × 6371000     		dl = 840.908290000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81155004--0.81168203) × R
    0.000131990000000082 × 6371000     		dr = 840.908290000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29797577--0.29778402) × cos(-0.81155004) × R
    0.000191749999999991 × 0.688374931006971 × 6371000     		do = 840.945834434116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29797577--0.29778402) × cos(-0.81168203) × R
    0.000191749999999991 × 0.688279185397458 × 6371000     		du = 840.828867839519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81155004)-sin(-0.81168203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688374931006971-0.688279185397458)×R²
    abs(-0.29778402--0.29797577)×9.57456095130871e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57456095130871e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57456095130871e-05×40589641000000     		ar = 707109.145554435m²