Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14829 / 21174
↖ ↑ ↗
← S 46.483265°
W 17.083740°		 ← 841.18 m → S 46.483265°
W 17.072754°		 →
↑
841.10 m
↓
↑
841.10 m
↓
S 46.490829°
W 17.083740°		 ← 841.06 m →
707 467 m²		 S 46.490829°
W 17.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452560424804688 y=0.646194458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452560424804688 × 215)
    floor (0.452560424804688 × 32768)
    floor (14829.5)     		tx = 14829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646194458007812 × 215)
    floor (0.646194458007812 × 32768)
    floor (21174.5)     		ty = 21174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14829 / 21174 ti = "15/14829/21174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14829/21174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14829 ÷ 215
    14829 ÷ 32768     		x = 0.452545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21174 ÷ 215
    21174 ÷ 32768     		y = 0.64617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.09490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29816752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.2923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.918470996720276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29816752} λ = -0.29816752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918470996720276))-π/2
    2×atan(0.399128844081954)-π/2
    2×0.379755155106529-π/2
    0.759510310213057-1.57079632675     		φ = -0.81128602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29816752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.083740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81128602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.483265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14829 KachelY 21174 -0.29816752 -0.81128602 -17.083740 -46.483265
    Oben rechts KachelX + 1 14830 KachelY 21174 -0.29797577 -0.81128602 -17.072754 -46.483265
    Unten links KachelX 14829 KachelY + 1 21175 -0.29816752 -0.81141804 -17.083740 -46.490829
    Unten rechts KachelX + 1 14830 KachelY + 1 21175 -0.29797577 -0.81141804 -17.072754 -46.490829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81128602--0.81141804) × R
    0.000132019999999899 × 6371000     		dl = 841.099419999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81128602--0.81141804) × R
    0.000132019999999899 × 6371000     		dr = 841.099419999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29816752--0.29797577) × cos(-0.81128602) × R
    0.000191750000000046 × 0.688566415253978 × 6371000     		do = 841.17975910626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29816752--0.29797577) × cos(-0.81141804) × R
    0.000191750000000046 × 0.688470671876698 × 6371000     		du = 841.062795238647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81128602)-sin(-0.81141804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688566415253978-0.688470671876698)×R²
    abs(-0.29797577--0.29816752)×9.5743377280133e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5743377280133e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5743377280133e-05×40589641000000     		ar = 707466.619406626m²