Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14828 / 8716
↖ ↑ ↗
← N 78.617003°
W 98.547363°		 ← 120.56 m → N 78.617003°
W 98.541870°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
N 78.615919°
W 98.547363°		 ← 120.57 m →
14 533 m²		 N 78.615919°
W 98.541870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226264953613281 y=0.133003234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226264953613281 × 216)
    floor (0.226264953613281 × 65536)
    floor (14828.5)     		tx = 14828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133003234863281 × 216)
    floor (0.133003234863281 × 65536)
    floor (8716.5)     		ty = 8716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14828 / 8716 ti = "16/14828/8716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14828/8716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14828 ÷ 216
    14828 ÷ 65536     		x = 0.22625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8716 ÷ 216
    8716 ÷ 65536     		y = 0.13299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.5474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71997596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13299560546875 × 2 - 1) × π
    0.7340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30595661932318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71997596} λ = -1.71997596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30595661932318))-π/2
    2×atan(10.0337721631688)-π/2
    2×1.47146093778524-π/2
    2.94292187557047-1.57079632675     		φ = 1.37212555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71997596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37212555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.617003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14828 KachelY 8716 -1.71997596 1.37212555 -98.547363 78.617003
    Oben rechts KachelX + 1 14829 KachelY 8716 -1.71988008 1.37212555 -98.541870 78.617003
    Unten links KachelX 14828 KachelY + 1 8717 -1.71997596 1.37210663 -98.547363 78.615919
    Unten rechts KachelX + 1 14829 KachelY + 1 8717 -1.71988008 1.37210663 -98.541870 78.615919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37212555-1.37210663) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dl = 120.539320000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37212555-1.37210663) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dr = 120.539320000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71997596--1.71988008) × cos(1.37212555) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197366428432994 × 6371000     		do = 120.56157491053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71997596--1.71988008) × cos(1.37210663) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197384976237254 × 6371000     		du = 120.572904864212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37212555)-sin(1.37210663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197366428432994-0.197384976237254)×R²
    abs(-1.71988008--1.71997596)×1.85478042595832e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85478042595832e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85478042595832e-05×40589641000000     		ar = 14533.0931106276m²