Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14828 / 20611
↖ ↑ ↗
← S 42.057450°
W 17.094726°		 ← 906.99 m → S 42.057450°
W 17.083740°		 →
↑
906.98 m
↓
↑
906.98 m
↓
S 42.065607°
W 17.094726°		 ← 906.87 m →
822 563 m²		 S 42.065607°
W 17.083740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452529907226562 y=0.629013061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452529907226562 × 215)
    floor (0.452529907226562 × 32768)
    floor (14828.5)     		tx = 14828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629013061523438 × 215)
    floor (0.629013061523438 × 32768)
    floor (20611.5)     		ty = 20611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14828 / 20611 ti = "15/14828/20611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14828/20611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14828 ÷ 215
    14828 ÷ 32768     		x = 0.4525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20611 ÷ 215
    20611 ÷ 32768     		y = 0.628997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29835926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.25799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.810517098775909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29835926} λ = -0.29835926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810517098775909))-π/2
    2×atan(0.444628090126747)-π/2
    2×0.418377672737588-π/2
    0.836755345475176-1.57079632675     		φ = -0.73404098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29835926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73404098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.057450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14828 KachelY 20611 -0.29835926 -0.73404098 -17.094726 -42.057450
    Oben rechts KachelX + 1 14829 KachelY 20611 -0.29816752 -0.73404098 -17.083740 -42.057450
    Unten links KachelX 14828 KachelY + 1 20612 -0.29835926 -0.73418334 -17.094726 -42.065607
    Unten rechts KachelX + 1 14829 KachelY + 1 20612 -0.29816752 -0.73418334 -17.083740 -42.065607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73404098--0.73418334) × R
    0.000142360000000008 × 6371000     		dl = 906.975560000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73404098--0.73418334) × R
    0.000142360000000008 × 6371000     		dr = 906.975560000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29835926--0.29816752) × cos(-0.73404098) × R
    0.000191739999999996 × 0.742473518659722 × 6371000     		do = 906.98748949243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29835926--0.29816752) × cos(-0.73418334) × R
    0.000191739999999996 × 0.742378147672081 × 6371000     		du = 906.870986626702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73404098)-sin(-0.73418334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742473518659722-0.742378147672081)×R²
    abs(-0.29816752--0.29835926)×9.5370987640897e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5370987640897e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5370987640897e-05×40589641000000     		ar = 822562.65495854m²