Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14828 / 11355
↖ ↑ ↗
← N 48.261256°
W 17.094726°		 ← 813.25 m → N 48.261256°
W 17.083740°		 →
↑
813.32 m
↓
↑
813.32 m
↓
N 48.253941°
W 17.094726°		 ← 813.36 m →
661 478 m²		 N 48.253941°
W 17.083740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452529907226562 y=0.346542358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452529907226562 × 215)
    floor (0.452529907226562 × 32768)
    floor (14828.5)     		tx = 14828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346542358398438 × 215)
    floor (0.346542358398438 × 32768)
    floor (11355.5)     		ty = 11355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14828 / 11355 ti = "15/14828/11355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14828/11355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14828 ÷ 215
    14828 ÷ 32768     		x = 0.4525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11355 ÷ 215
    11355 ÷ 32768     		y = 0.346527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29835926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346527099609375 × 2 - 1) × π
    0.30694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.96429867275705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29835926} λ = -0.29835926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96429867275705))-π/2
    2×atan(2.62294746674715)-π/2
    2×1.20655706952569-π/2
    2.41311413905139-1.57079632675     		φ = 0.84231781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29835926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84231781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.261256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14828 KachelY 11355 -0.29835926 0.84231781 -17.094726 48.261256
    Oben rechts KachelX + 1 14829 KachelY 11355 -0.29816752 0.84231781 -17.083740 48.261256
    Unten links KachelX 14828 KachelY + 1 11356 -0.29835926 0.84219015 -17.094726 48.253941
    Unten rechts KachelX + 1 14829 KachelY + 1 11356 -0.29816752 0.84219015 -17.083740 48.253941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84231781-0.84219015) × R
    0.000127659999999974 × 6371000     		dl = 813.321859999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84231781-0.84219015) × R
    0.000127659999999974 × 6371000     		dr = 813.321859999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29835926--0.29816752) × cos(0.84231781) × R
    0.000191739999999996 × 0.665735093231261 × 6371000     		do = 813.24570601091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29835926--0.29816752) × cos(0.84219015) × R
    0.000191739999999996 × 0.665830346188068 × 6371000     		du = 813.362064693058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84231781)-sin(0.84219015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665735093231261-0.665830346188068)×R²
    abs(-0.29816752--0.29835926)×9.52529568065685e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52529568065685e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52529568065685e-05×40589641000000     		ar = 661477.829678143m²