Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14827 / 21450
↖ ↑ ↗
← S 48.531157°
W 17.105713°		 ← 808.98 m → S 48.531157°
W 17.094726°		 →
↑
808.93 m
↓
↑
808.93 m
↓
S 48.538432°
W 17.105713°		 ← 808.87 m →
654 362 m²		 S 48.538432°
W 17.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452499389648438 y=0.654617309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452499389648438 × 215)
    floor (0.452499389648438 × 32768)
    floor (14827.5)     		tx = 14827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654617309570312 × 215)
    floor (0.654617309570312 × 32768)
    floor (21450.5)     		ty = 21450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14827 / 21450 ti = "15/14827/21450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14827/21450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14827 ÷ 215
    14827 ÷ 32768     		x = 0.452484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21450 ÷ 215
    21450 ÷ 32768     		y = 0.65460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.09503173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29855101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29855101} λ = -0.29855101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971393333900818))-π/2
    2×atan(0.378555216656334)-π/2
    2×0.361883923584705-π/2
    0.723767847169409-1.57079632675     		φ = -0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29855101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.105713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14827 KachelY 21450 -0.29855101 -0.84702848 -17.105713 -48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 14828 KachelY 21450 -0.29835926 -0.84702848 -17.094726 -48.531157
    Unten links KachelX 14827 KachelY + 1 21451 -0.29855101 -0.84715545 -17.105713 -48.538432
    Unten rechts KachelX + 1 14828 KachelY + 1 21451 -0.29835926 -0.84715545 -17.094726 -48.538432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84702848--0.84715545) × R
    0.00012697000000006 × 6371000     		dl = 808.925870000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84702848--0.84715545) × R
    0.00012697000000006 × 6371000     		dr = 808.925870000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29855101--0.29835926) × cos(-0.84702848) × R
    0.000191749999999991 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 808.98499385408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29855101--0.29835926) × cos(-0.84715545) × R
    0.000191749999999991 × 0.662117527566077 × 6371000     		du = 808.868759787637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84702848)-sin(-0.84715545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.662117527566077)×R²
    abs(-0.29835926--0.29855101)×9.51459822879919e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51459822879919e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51459822879919e-05×40589641000000     		ar = 654361.878478072m²