Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14827 / 14893
↖ ↑ ↗
← S 81.245005°
E145.788574°		 ← 371.89 m → S 81.245005°
E145.810547°		 →
↑
371.81 m
↓
↑
371.81 m
↓
S 81.248348°
E145.788574°		 ← 371.75 m →
138 247 m²		 S 81.248348°
E145.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904998779296875 y=0.909027099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904998779296875 × 214)
    floor (0.904998779296875 × 16384)
    floor (14827.5)     		tx = 14827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909027099609375 × 214)
    floor (0.909027099609375 × 16384)
    floor (14893.5)     		ty = 14893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14827 / 14893 ti = "14/14827/14893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14827/14893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14827 ÷ 214
    14827 ÷ 16384     		x = 0.90496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14893 ÷ 214
    14893 ÷ 16384     		y = 0.90899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90496826171875 × 2 - 1) × π
    0.8099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54449063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.8179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56980131483197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54449063} λ = 2.54449063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56980131483197))-π/2
    2×atan(0.0765507534123651)-π/2
    2×0.076401747375606-π/2
    0.152803494751212-1.57079632675     		φ = -1.41799283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54449063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41799283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.245005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14827 KachelY 14893 2.54449063 -1.41799283 145.788574 -81.245005
    Oben rechts KachelX + 1 14828 KachelY 14893 2.54487413 -1.41799283 145.810547 -81.245005
    Unten links KachelX 14827 KachelY + 1 14894 2.54449063 -1.41805119 145.788574 -81.248348
    Unten rechts KachelX + 1 14828 KachelY + 1 14894 2.54487413 -1.41805119 145.810547 -81.248348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41799283--1.41805119) × R
    5.8359999999924e-05 × 6371000     		dl = 371.811559999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41799283--1.41805119) × R
    5.8359999999924e-05 × 6371000     		dr = 371.811559999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54449063-2.54487413) × cos(-1.41799283) × R
    0.000383500000000314 × 0.152209558129166 × 6371000     		do = 371.890340871795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54449063-2.54487413) × cos(-1.41805119) × R
    0.000383500000000314 × 0.152151877866504 × 6371000     		du = 371.749411926159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41799283)-sin(-1.41805119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152209558129166-0.152151877866504)×R²
    abs(2.54487413-2.54449063)×5.76802626618411e-05×R²
    0.000383500000000314×5.76802626618411e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.76802626618411e-05×40589641000000     		ar = 138246.92832163m²