Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14827 / 11354
↖ ↑ ↗
← N 48.268569°
W 17.105713°		 ← 813.17 m → N 48.268569°
W 17.094726°		 →
↑
813.26 m
↓
↑
813.26 m
↓
N 48.261256°
W 17.105713°		 ← 813.29 m →
661 366 m²		 N 48.261256°
W 17.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452499389648438 y=0.346511840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452499389648438 × 215)
    floor (0.452499389648438 × 32768)
    floor (14827.5)     		tx = 14827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346511840820312 × 215)
    floor (0.346511840820312 × 32768)
    floor (11354.5)     		ty = 11354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14827 / 11354 ti = "15/14827/11354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14827/11354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14827 ÷ 215
    14827 ÷ 32768     		x = 0.452484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11354 ÷ 215
    11354 ÷ 32768     		y = 0.34649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.09503173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29855101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34649658203125 × 2 - 1) × π
    0.3070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.96449042035553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29855101} λ = -0.29855101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96449042035553))-π/2
    2×atan(2.62345045884706)-π/2
    2×1.20662089151211-π/2
    2.41324178302421-1.57079632675     		φ = 0.84244546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29855101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.105713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84244546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.268569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14827 KachelY 11354 -0.29855101 0.84244546 -17.105713 48.268569
    Oben rechts KachelX + 1 14828 KachelY 11354 -0.29835926 0.84244546 -17.094726 48.268569
    Unten links KachelX 14827 KachelY + 1 11355 -0.29855101 0.84231781 -17.105713 48.261256
    Unten rechts KachelX + 1 14828 KachelY + 1 11355 -0.29835926 0.84231781 -17.094726 48.261256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84244546-0.84231781) × R
    0.000127650000000035 × 6371000     		dl = 813.258150000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84244546-0.84231781) × R
    0.000127650000000035 × 6371000     		dr = 813.258150000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29855101--0.29835926) × cos(0.84244546) × R
    0.000191749999999991 × 0.665639836887651 × 6371000     		do = 813.171751105512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29855101--0.29835926) × cos(0.84231781) × R
    0.000191749999999991 × 0.665735093231261 × 6371000     		du = 813.288119993678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84244546)-sin(0.84231781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665639836887651-0.665735093231261)×R²
    abs(-0.29835926--0.29855101)×9.52563436101839e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52563436101839e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52563436101839e-05×40589641000000     		ar = 661365.873807861m²