Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14825 / 21533
↖ ↑ ↗
← S 49.131408°
W 17.127686°		 ← 799.35 m → S 49.131408°
W 17.116699°		 →
↑
799.31 m
↓
↑
799.31 m
↓
S 49.138597°
W 17.127686°		 ← 799.23 m →
638 879 m²		 S 49.138597°
W 17.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452438354492188 y=0.657150268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452438354492188 × 215)
    floor (0.452438354492188 × 32768)
    floor (14825.5)     		tx = 14825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657150268554688 × 215)
    floor (0.657150268554688 × 32768)
    floor (21533.5)     		ty = 21533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14825 / 21533 ti = "15/14825/21533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14825/21533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14825 ÷ 215
    14825 ÷ 32768     		x = 0.452423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21533 ÷ 215
    21533 ÷ 32768     		y = 0.657135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.09515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29893451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.31427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.987308384574677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29893451} λ = -0.29893451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987308384574677))-π/2
    2×atan(0.372578179781957)-π/2
    2×0.35664574192352-π/2
    0.713291483847041-1.57079632675     		φ = -0.85750484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29893451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.127686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85750484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.131408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14825 KachelY 21533 -0.29893451 -0.85750484 -17.127686 -49.131408
    Oben rechts KachelX + 1 14826 KachelY 21533 -0.29874276 -0.85750484 -17.116699 -49.131408
    Unten links KachelX 14825 KachelY + 1 21534 -0.29893451 -0.85763030 -17.127686 -49.138597
    Unten rechts KachelX + 1 14826 KachelY + 1 21534 -0.29874276 -0.85763030 -17.116699 -49.138597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85750484--0.85763030) × R
    0.000125459999999911 × 6371000     		dl = 799.305659999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85750484--0.85763030) × R
    0.000125459999999911 × 6371000     		dr = 799.305659999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29893451--0.29874276) × cos(-0.85750484) × R
    0.000191749999999991 × 0.654326373671995 × 6371000     		do = 799.350780387837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29893451--0.29874276) × cos(-0.85763030) × R
    0.000191749999999991 × 0.65423149413128 × 6371000     		du = 799.234871816877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85750484)-sin(-0.85763030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654326373671995-0.65423149413128)×R²
    abs(-0.29874276--0.29893451)×9.48795407147429e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48795407147429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48795407147429e-05×40589641000000     		ar = 638879.280738465m²