Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14825 / 21527
↖ ↑ ↗
← S 49.088258°
W 17.127686°		 ← 800.05 m → S 49.088258°
W 17.116699°		 →
↑
800.01 m
↓
↑
800.01 m
↓
S 49.095452°
W 17.127686°		 ← 799.93 m →
639 996 m²		 S 49.095452°
W 17.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452438354492188 y=0.656967163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452438354492188 × 215)
    floor (0.452438354492188 × 32768)
    floor (14825.5)     		tx = 14825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656967163085938 × 215)
    floor (0.656967163085938 × 32768)
    floor (21527.5)     		ty = 21527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14825 / 21527 ti = "15/14825/21527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14825/21527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14825 ÷ 215
    14825 ÷ 32768     		x = 0.452423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21527 ÷ 215
    21527 ÷ 32768     		y = 0.656951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.09515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29893451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656951904296875 × 2 - 1) × π
    -0.31390380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.986157898983795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29893451} λ = -0.29893451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986157898983795))-π/2
    2×atan(0.373007072279285)-π/2
    2×0.357022302201086-π/2
    0.714044604402173-1.57079632675     		φ = -0.85675172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29893451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.127686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85675172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.088258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14825 KachelY 21527 -0.29893451 -0.85675172 -17.127686 -49.088258
    Oben rechts KachelX + 1 14826 KachelY 21527 -0.29874276 -0.85675172 -17.116699 -49.088258
    Unten links KachelX 14825 KachelY + 1 21528 -0.29893451 -0.85687729 -17.127686 -49.095452
    Unten rechts KachelX + 1 14826 KachelY + 1 21528 -0.29874276 -0.85687729 -17.116699 -49.095452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85675172--0.85687729) × R
    0.000125570000000019 × 6371000     		dl = 800.006470000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85675172--0.85687729) × R
    0.000125570000000019 × 6371000     		dr = 800.006470000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29893451--0.29874276) × cos(-0.85675172) × R
    0.000191749999999991 × 0.654895706639058 × 6371000     		do = 800.04629988672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29893451--0.29874276) × cos(-0.85687729) × R
    0.000191749999999991 × 0.654800805807568 × 6371000     		du = 799.930365306114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85675172)-sin(-0.85687729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654895706639058-0.654800805807568)×R²
    abs(-0.29874276--0.29893451)×9.49008314899968e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49008314899968e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49008314899968e-05×40589641000000     		ar = 639995.842842949m²