Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14823 / 21529
↖ ↑ ↗
← S 49.102646°
W 17.149658°		 ← 799.81 m → S 49.102646°
W 17.138672°		 →
↑
799.69 m
↓
↑
799.69 m
↓
S 49.109838°
W 17.149658°		 ← 799.70 m →
639 556 m²		 S 49.109838°
W 17.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452377319335938 y=0.657028198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452377319335938 × 215)
    floor (0.452377319335938 × 32768)
    floor (14823.5)     		tx = 14823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657028198242188 × 215)
    floor (0.657028198242188 × 32768)
    floor (21529.5)     		ty = 21529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14823 / 21529 ti = "15/14823/21529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14823/21529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14823 ÷ 215
    14823 ÷ 32768     		x = 0.452362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21529 ÷ 215
    21529 ÷ 32768     		y = 0.657012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.31402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.986541394180756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29931800} λ = -0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986541394180756))-π/2
    2×atan(0.372864053283935)-π/2
    2×0.356896745718686-π/2
    0.713793491437373-1.57079632675     		φ = -0.85700284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85700284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.102646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14823 KachelY 21529 -0.29931800 -0.85700284 -17.149658 -49.102646
    Oben rechts KachelX + 1 14824 KachelY 21529 -0.29912625 -0.85700284 -17.138672 -49.102646
    Unten links KachelX 14823 KachelY + 1 21530 -0.29931800 -0.85712836 -17.149658 -49.109838
    Unten rechts KachelX + 1 14824 KachelY + 1 21530 -0.29912625 -0.85712836 -17.138672 -49.109838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85700284--0.85712836) × R
    0.00012551999999999 × 6371000     		dl = 799.687919999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85700284--0.85712836) × R
    0.00012551999999999 × 6371000     		dr = 799.687919999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29931800--0.29912625) × cos(-0.85700284) × R
    0.000191749999999991 × 0.654705909768968 × 6371000     		do = 799.81443658069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29931800--0.29912625) × cos(-0.85712836) × R
    0.000191749999999991 × 0.654611026089344 × 6371000     		du = 799.698522953478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85700284)-sin(-0.85712836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654705909768968-0.654611026089344)×R²
    abs(-0.29912625--0.29931800)×9.48836796236252e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48836796236252e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48836796236252e-05×40589641000000     		ar = 639555.596650772m²