Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14823 / 20571
↖ ↑ ↗
← S 41.730330°
W 17.149658°		 ← 911.69 m → S 41.730330°
W 17.138672°		 →
↑
911.63 m
↓
↑
911.63 m
↓
S 41.738529°
W 17.149658°		 ← 911.58 m →
831 070 m²		 S 41.738529°
W 17.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452377319335938 y=0.627792358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452377319335938 × 215)
    floor (0.452377319335938 × 32768)
    floor (14823.5)     		tx = 14823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627792358398438 × 215)
    floor (0.627792358398438 × 32768)
    floor (20571.5)     		ty = 20571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14823 / 20571 ti = "15/14823/20571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14823/20571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14823 ÷ 215
    14823 ÷ 32768     		x = 0.452362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20571 ÷ 215
    20571 ÷ 32768     		y = 0.627777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.25555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.8028471948367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29931800} λ = -0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8028471948367))-π/2
    2×atan(0.448051456530121)-π/2
    2×0.421232334743725-π/2
    0.842464669487449-1.57079632675     		φ = -0.72833166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72833166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.730330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14823 KachelY 20571 -0.29931800 -0.72833166 -17.149658 -41.730330
    Oben rechts KachelX + 1 14824 KachelY 20571 -0.29912625 -0.72833166 -17.138672 -41.730330
    Unten links KachelX 14823 KachelY + 1 20572 -0.29931800 -0.72847475 -17.149658 -41.738529
    Unten rechts KachelX + 1 14824 KachelY + 1 20572 -0.29912625 -0.72847475 -17.138672 -41.738529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72833166--0.72847475) × R
    0.000143089999999901 × 6371000     		dl = 911.626389999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72833166--0.72847475) × R
    0.000143089999999901 × 6371000     		dr = 911.626389999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29931800--0.29912625) × cos(-0.72833166) × R
    0.000191749999999991 × 0.746285930072162 × 6371000     		do = 911.692183898864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29931800--0.29912625) × cos(-0.72847475) × R
    0.000191749999999991 × 0.746190678079219 × 6371000     		du = 911.575820325644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72833166)-sin(-0.72847475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746285930072162-0.746190678079219)×R²
    abs(-0.29912625--0.29931800)×9.5251992943135e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5251992943135e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5251992943135e-05×40589641000000     		ar = 831069.615764113m²