Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14823 / 14902
↖ ↑ ↗
← S 81.275053°
E145.700684°		 ← 370.62 m → S 81.275053°
E145.722656°		 →
↑
370.54 m
↓
↑
370.54 m
↓
S 81.278386°
E145.700684°		 ← 370.48 m →
137 304 m²		 S 81.278386°
E145.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904754638671875 y=0.909576416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904754638671875 × 214)
    floor (0.904754638671875 × 16384)
    floor (14823.5)     		tx = 14823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909576416015625 × 214)
    floor (0.909576416015625 × 16384)
    floor (14902.5)     		ty = 14902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14823 / 14902 ti = "14/14823/14902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14823/14902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14823 ÷ 214
    14823 ÷ 16384     		x = 0.90472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14902 ÷ 214
    14902 ÷ 16384     		y = 0.9095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90472412109375 × 2 - 1) × π
    0.8094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54295665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57325277160461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54295665} λ = 2.54295665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57325277160461))-π/2
    2×atan(0.0762869972294151)-π/2
    2×0.076139522546369-π/2
    0.152279045092738-1.57079632675     		φ = -1.41851728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54295665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41851728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.275053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14823 KachelY 14902 2.54295665 -1.41851728 145.700684 -81.275053
    Oben rechts KachelX + 1 14824 KachelY 14902 2.54334015 -1.41851728 145.722656 -81.275053
    Unten links KachelX 14823 KachelY + 1 14903 2.54295665 -1.41857544 145.700684 -81.278386
    Unten rechts KachelX + 1 14824 KachelY + 1 14903 2.54334015 -1.41857544 145.722656 -81.278386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41851728--1.41857544) × R
    5.81599999998073e-05 × 6371000     		dl = 370.537359998772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41851728--1.41857544) × R
    5.81599999998073e-05 × 6371000     		dr = 370.537359998772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54295665-2.54334015) × cos(-1.41851728) × R
    0.000383500000000314 × 0.151691197984176 × 6371000     		do = 370.623842674283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54295665-2.54334015) × cos(-1.41857544) × R
    0.000383500000000314 × 0.15163371075902 × 6371000     		du = 370.483385373036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41851728)-sin(-1.41857544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151691197984176-0.15163371075902)×R²
    abs(2.54334015-2.54295665)×5.74872251555003e-05×R²
    0.000383500000000314×5.74872251555003e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.74872251555003e-05×40589641000000     		ar = 137303.957917385m²