Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14822 / 21162
↖ ↑ ↗
← S 46.392411°
W 17.160645°		 ← 842.58 m → S 46.392411°
W 17.149658°		 →
↑
842.56 m
↓
↑
842.56 m
↓
S 46.399988°
W 17.160645°		 ← 842.47 m →
709 882 m²		 S 46.399988°
W 17.149658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452346801757812 y=0.645828247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452346801757812 × 215)
    floor (0.452346801757812 × 32768)
    floor (14822.5)     		tx = 14822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645828247070312 × 215)
    floor (0.645828247070312 × 32768)
    floor (21162.5)     		ty = 21162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14822 / 21162 ti = "15/14822/21162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14822/21162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14822 ÷ 215
    14822 ÷ 32768     		x = 0.45233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21162 ÷ 215
    21162 ÷ 32768     		y = 0.64581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.0953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29950975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2916259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.916170025538513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29950975} λ = -0.29950975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916170025538513))-π/2
    2×atan(0.400048285448378)-π/2
    2×0.380548001805816-π/2
    0.761096003611632-1.57079632675     		φ = -0.80970032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29950975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.160645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80970032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.392411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14822 KachelY 21162 -0.29950975 -0.80970032 -17.160645 -46.392411
    Oben rechts KachelX + 1 14823 KachelY 21162 -0.29931800 -0.80970032 -17.149658 -46.392411
    Unten links KachelX 14822 KachelY + 1 21163 -0.29950975 -0.80983257 -17.160645 -46.399988
    Unten rechts KachelX + 1 14823 KachelY + 1 21163 -0.29931800 -0.80983257 -17.149658 -46.399988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80970032--0.80983257) × R
    0.000132249999999945 × 6371000     		dl = 842.564749999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80970032--0.80983257) × R
    0.000132249999999945 × 6371000     		dr = 842.564749999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29950975--0.29931800) × cos(-0.80970032) × R
    0.000191750000000046 × 0.689715456367641 × 6371000     		do = 842.583472830575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29950975--0.29931800) × cos(-0.80983257) × R
    0.000191750000000046 × 0.689619690688498 × 6371000     		du = 842.466481718131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80970032)-sin(-0.80983257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689715456367641-0.689619690688498)×R²
    abs(-0.29931800--0.29950975)×9.5765679142934e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5765679142934e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5765679142934e-05×40589641000000     		ar = 709881.847880833m²