Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14822 / 21139
↖ ↑ ↗
← S 46.217852°
W 17.160645°		 ← 845.27 m → S 46.217852°
W 17.149658°		 →
↑
845.18 m
↓
↑
845.18 m
↓
S 46.225453°
W 17.160645°		 ← 845.16 m →
714 357 m²		 S 46.225453°
W 17.149658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452346801757812 y=0.645126342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452346801757812 × 215)
    floor (0.452346801757812 × 32768)
    floor (14822.5)     		tx = 14822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645126342773438 × 215)
    floor (0.645126342773438 × 32768)
    floor (21139.5)     		ty = 21139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14822 / 21139 ti = "15/14822/21139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14822/21139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14822 ÷ 215
    14822 ÷ 32768     		x = 0.45233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21139 ÷ 215
    21139 ÷ 32768     		y = 0.645111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.0953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29950975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.29022216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.911759830773468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29950975} λ = -0.29950975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911759830773468))-π/2
    2×atan(0.401816472461273)-π/2
    2×0.382071320136533-π/2
    0.764142640273065-1.57079632675     		φ = -0.80665369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29950975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.160645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80665369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.217852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14822 KachelY 21139 -0.29950975 -0.80665369 -17.160645 -46.217852
    Oben rechts KachelX + 1 14823 KachelY 21139 -0.29931800 -0.80665369 -17.149658 -46.217852
    Unten links KachelX 14822 KachelY + 1 21140 -0.29950975 -0.80678635 -17.160645 -46.225453
    Unten rechts KachelX + 1 14823 KachelY + 1 21140 -0.29931800 -0.80678635 -17.149658 -46.225453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80665369--0.80678635) × R
    0.000132660000000007 × 6371000     		dl = 845.176860000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80665369--0.80678635) × R
    0.000132660000000007 × 6371000     		dr = 845.176860000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29950975--0.29931800) × cos(-0.80665369) × R
    0.000191750000000046 × 0.69191825741695 × 6371000     		do = 845.274501052352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29950975--0.29931800) × cos(-0.80678635) × R
    0.000191750000000046 × 0.691822474012816 × 6371000     		du = 845.157488286364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80665369)-sin(-0.80678635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69191825741695-0.691822474012816)×R²
    abs(-0.29931800--0.29950975)×9.57834041334094e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57834041334094e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57834041334094e-05×40589641000000     		ar = 714357.00144398m²