Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14822 / 10599
↖ ↑ ↗
← N 76.384263°
W 98.580322°		 ← 143.78 m → N 76.384263°
W 98.574829°		 →
↑
143.79 m
↓
↑
143.79 m
↓
N 76.382969°
W 98.580322°		 ← 143.80 m →
20 676 m²		 N 76.382969°
W 98.574829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226173400878906 y=0.161735534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226173400878906 × 216)
    floor (0.226173400878906 × 65536)
    floor (14822.5)     		tx = 14822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161735534667969 × 216)
    floor (0.161735534667969 × 65536)
    floor (10599.5)     		ty = 10599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14822 / 10599 ti = "16/14822/10599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14822/10599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14822 ÷ 216
    14822 ÷ 65536     		x = 0.226165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10599 ÷ 216
    10599 ÷ 65536     		y = 0.161727905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72055120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161727905273438 × 2 - 1) × π
    0.676544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12542625535405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72055120} λ = -1.72055120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12542625535405))-π/2
    2×atan(8.37646724126963)-π/2
    2×1.45197660318564-π/2
    2.90395320637127-1.57079632675     		φ = 1.33315688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72055120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33315688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.384263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14822 KachelY 10599 -1.72055120 1.33315688 -98.580322 76.384263
    Oben rechts KachelX + 1 14823 KachelY 10599 -1.72045533 1.33315688 -98.574829 76.384263
    Unten links KachelX 14822 KachelY + 1 10600 -1.72055120 1.33313431 -98.580322 76.382969
    Unten rechts KachelX + 1 14823 KachelY + 1 10600 -1.72045533 1.33313431 -98.574829 76.382969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33315688-1.33313431) × R
    2.2570000000055e-05 × 6371000     		dl = 143.793470000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33315688-1.33313431) × R
    2.2570000000055e-05 × 6371000     		dr = 143.793470000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72055120--1.72045533) × cos(1.33315688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235409071322435 × 6371000     		do = 143.784981710798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72055120--1.72045533) × cos(1.33313431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235431006963721 × 6371000     		du = 143.798379732222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33315688)-sin(1.33313431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235409071322435-0.235431006963721)×R²
    abs(-1.72045533--1.72055120)×2.19356412853866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19356412853866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19356412853866e-05×40589641000000     		ar = 20676.3047288157m²