Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14821 / 21451
↖ ↑ ↗
← S 48.538432°
W 17.171631°		 ← 808.87 m → S 48.538432°
W 17.160645°		 →
↑
808.80 m
↓
↑
808.80 m
↓
S 48.545706°
W 17.171631°		 ← 808.75 m →
654 165 m²		 S 48.545706°
W 17.160645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452316284179688 y=0.654647827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452316284179688 × 215)
    floor (0.452316284179688 × 32768)
    floor (14821.5)     		tx = 14821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654647827148438 × 215)
    floor (0.654647827148438 × 32768)
    floor (21451.5)     		ty = 21451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14821 / 21451 ti = "15/14821/21451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14821/21451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14821 ÷ 215
    14821 ÷ 32768     		x = 0.452301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21451 ÷ 215
    21451 ÷ 32768     		y = 0.654632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.09539794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29970150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.30926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971585081499298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29970150} λ = -0.29970150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971585081499298))-π/2
    2×atan(0.3784826365614)-π/2
    2×0.361820439300735-π/2
    0.723640878601471-1.57079632675     		φ = -0.84715545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29970150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.171631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84715545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.538432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14821 KachelY 21451 -0.29970150 -0.84715545 -17.171631 -48.538432
    Oben rechts KachelX + 1 14822 KachelY 21451 -0.29950975 -0.84715545 -17.160645 -48.538432
    Unten links KachelX 14821 KachelY + 1 21452 -0.29970150 -0.84728240 -17.171631 -48.545706
    Unten rechts KachelX + 1 14822 KachelY + 1 21452 -0.29950975 -0.84728240 -17.160645 -48.545706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84715545--0.84728240) × R
    0.000126949999999959 × 6371000     		dl = 808.798449999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84715545--0.84728240) × R
    0.000126949999999959 × 6371000     		dr = 808.798449999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29970150--0.29950975) × cos(-0.84715545) × R
    0.000191749999999991 × 0.662117527566077 × 6371000     		do = 808.868759787637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29970150--0.29950975) × cos(-0.84728240) × R
    0.000191749999999991 × 0.662022385899222 × 6371000     		du = 808.752530993096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84715545)-sin(-0.84728240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662117527566077-0.662022385899222)×R²
    abs(-0.29950975--0.29970150)×9.5141666855314e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5141666855314e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5141666855314e-05×40589641000000     		ar = 654164.797212902m²